Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano pi descrito abaixo.
pi : passa pelos pontos A=(1,1,0) e B=(1,-1,-1) e é paralelo ao vetor v=[1,2,0] ;

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano pi que passa por A=(1,1,0), por B=(1,-1,-1) e é paralelo ao vetor v=(1,2,0). Vamos usar:
  1. Para a forma paramétrica: um ponto do plano e dois vetores diretores.
  2. Para a forma cartesiana: o vetor normal obtido pelo produto vetorial desses dois vetores diretores.

Passo 2

Encontramos um vetor diretor interno ao plano usando os pontos A e B:
AB = B - A = (1,-1,-1) - (1,1,0) = (0,-2,-1)
O outro vetor diretor é dado v=(1,2,0). Logo, diretores do plano são u=AB=(0,-2,-1) e w=v=(1,2,0).

Passo 3

A forma paramétrica do plano é
vec r = A + s,u + t,w, (s,tinR),
ou, em coordenadas,
x = 1 + 0cdot s + 1cdot t = 1 + t, y = 1 + (-2),s + 2,t = 1 - 2s + 2t, z = 0 + (-1),s + 0cdot t = -s

Passo 4

Para encontrar a equação cartesiana, calculamos o vetor normal n=utimesw. Usando determinante:
n = i & j & k 0 & -2 & -1 1 & 2 & 0 = i,( -2cdot0 -(-1)cdot2 ) - j,( 0cdot0 -(-1)cdot1 ) + k,( 0cdot2 -(-2)cdot1 ) = (2,,-1,,2)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(2,-1,2) e que passa por A=(1,1,0) é
2(x-1) -1(y-1) +2(z-0) = 0
Expandindo:
2x -2 -y +1 +2z =0 Longrightarrow 2x - y +2z -1 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 + t, y = 1 - 2s + 2t, z = -s, s,tinR
Equação cartesiana:
2x - y + 2z - 1 = 0

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