Considere os pontos A=(3,1,4), B=(6,-1,2) e C=(0,3,2). Determine o ponto da interseção da reta r que passa pelos pontos A e B com o plano Pi paralelo ao plano PiX Z que contém o ponto C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(3,1,4), B=(6,-1,2) e C=(0,3,2). Queremos a interseção da reta r que passa por A e B com o plano Pi paralelo ao plano XZ (que é y=0) e que contém C. Para resolver, vamos:
  • escrever a reta r em forma paramétrica;
  • determinar a equação de Pi a partir de sua paralelismo com o XZ-plano e do ponto C;
  • igualar a coordenada y da reta à constante do plano e achar o parâmetro;
  • substituir esse parâmetro para obter o ponto de interseção.

Passo 2

O vetor diretor de r é
d = AB = (6-3,,-1-1,;2-4) = (3,,-2,,-2)
Logo a forma paramétrica de r é
vec r(t) = (3,1,4) + t,(3,-2,-2),
isto é,
x = 3 + 3t, y = 1 - 2t, z = 4 - 2t

Passo 3

Como Pi é paralelo ao plano XZ (que tem equação y=0) e contém C cuja coordenada y vale 3, a equação de Pi é
y = 3

Passo 4

Na interseção, a coordenada y da reta deve satisfazer 1 - 2t = 3. Resolvendo:
1 - 2t = 3 Longrightarrow -2t = 2 Longrightarrow t = -1

Passo 5

Substituindo t = -1 em vec r(t):
x = 3 + 3(-1) = 0, y = 1 - 2(-1) = 3, z = 4 - 2(-1) = 6
O ponto de interseção é (0,3,6).

Resposta

O ponto de interseção é (0,3,6).

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