Seja r a reta que passa pelo ponto A=(2,1,3) e é paralela ao vetor v=(1,2,4). Quais dos pontos P=(1,-1,-1) e Q=(4,5,8) pertencem à reta r ?

Passo 1

O enunciado dá uma reta r que passa por A=(2,1,3) e é paralela ao vetor vec v=(1,2,4). O conteúdo é “equações paramétricas de reta em R^3”. Para resolver, vamos escrever r em forma paramétrica e verificar para cada ponto se existe um parâmetro t que o gera.

Passo 2

A forma vetorial e paramétrica de r é
r(t)=A+t,vec v,
ou seja,
r(t)=(2,1,3)+t,(1,2,4)
Em coordenadas:
x(t)=2+t, y(t)=1+2t, z(t)=3+4t

Passo 3

Para P=(1,-1,-1), buscamos t tal que
2+t=1implies t=-1
Com t=-1:
y(-1)=1+2(-1)=-1, z(-1)=3+4(-1)=-1,
que coincidem com as coordenadas de P. Logo, P pertence a r.

Passo 4

Para Q=(4,5,8), buscamos t tal que
2+t=4implies t=2
Com t=2:
y(2)=1+2cdot2=5(ok), z(2)=3+4cdot2=11neq8
Como a coordenada z falha, Q não pertence a r.

Resposta

O ponto P pertence à reta r e o ponto Q não pertence à reta r.

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