Encontre a equação simétrica da reta r que contém a mediana A M do triângulo A B C, onde A=(-2,3,1), B=(1,6,3) e C=(-1,5,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação simétrica da reta r que contém a mediana AM do triângulo ABC, onde
A = (-2,3,1), B=(1,6,3), C=(-1,5,1)
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Para isso precisamos calcular o ponto médio M de BC, achar o vetor diretor AM e então escrever a reta em forma simétrica.

Passo 2

Calculamos o ponto médio M de B e C usando
M = l(tfracxB + xC2,,tfracyB + yC2,,tfraczB + zC2r)
Logo,
M = l(tfrac1 + (-1)2,,tfrac6 + 52,,tfrac3 + 12r) = l(0,tfrac112,2r)

Passo 3

O vetor diretor v=AM é dado por
v = M - A = l(0 - (-2),,tfrac112 - 3,,2 - 1r) = l(2,,tfrac52,,1r)
Para evitar frações, podemos multiplicar por 2 e usar
v = (4,,5,,2)

Passo 4

A forma paramétrica da reta r que passa por A e tem vetor diretor v é
x = -2 + 4t, y = 3 + 5t e z = 1 + 2t.

Passo 5

Para obter a equação simétrica, isolamos t em cada uma:
x + 24 = y - 35 = z - 12

Resposta

x + 24 = y - 35 = z - 12

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