Considere os pontos A=(1,2,1), B=(1,1,1) e C=(0,3,-1) pertencentes a um plano beta. Determine a equação geral do plano beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: A=(1,2,1) , B=(1,1,1) e C=(0,3,-1) . O objetivo é encontrar a equação geral do plano beta que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar vetores e a equação do plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano beta . Vamos usar os pontos A , B e C para isso. Um jeito fácil é criar vetores a partir das coordenadas dos pontos. Por exemplo, o vetor AB que vai de A para B , e o vetor AC que vai de A para C .
Vamos calcular AB e AC :
AB = B - A = (1-1, 1-2, 1-1) = (0, -1, 0)
AC = C - A = (0-1, 3-2, -1-1) = (-1, 1, -2)

Passo 3

Agora que temos dois vetores no plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano beta . Para isso, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Vamos calcular AB times AC :
AB times AC = i & j & k 0 & -1 & 0 -1 & 1 & -2
= i cdot ( (-1)(-2) - (0)(1) ) - j cdot ( (0)(-2) - (0)(-1) ) + k cdot ( (0)(1) - (-1)(-1) )
= i cdot (2 - 0) - j cdot (0 - 0) + k cdot (0 - 1)
= 2i - 0j -1k = (2, 0, -1)
Portanto, o vetor normal n = (2, 0, -1) .

Passo 4

Com o vetor normal n = (2, 0, -1) e um ponto qualquer do plano, que pode ser A=(1,2,1) , podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto A .
Substituindo os valores:
2(x - 1) + 0(y - 2) -1(z - 1) = 0
Simplificando:
2x - 2 - z + 1 = 0
2x - z -1 = 0

Resposta

A equação geral do plano beta é 2x - z -1 = 0 .

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