Considere os pontos e o vetor
Determine o ângulo entre os vetores e A C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá três pontos no plano: $ A=(-1,2) $, $ B=(4,-3) $ e $ C=(2,7) $. Além disso, temos um vetor $ \vec{v}=(2,5) $, mas, na verdade, ele não será usado diretamente para encontrar o ângulo entre os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $. O conteúdo principal aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com vetores e ângulos entre eles. Precisamos usar as fórmulas de vetores e produto escalar para achar o ângulo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $. Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.
Para $ \overrightarrow{AB} $:
AB
Para $ \overrightarrow{AC} $:
AC
Passo 3
Agora que temos os dois vetores, vamos lembrar como calcular o ângulo entre eles. A fórmula envolve o produto escalar (ou produto interno) dos vetores e suas magnitudes (comprimentos):
cos(theta) = AB cdot AC|AB| cdot |AC|
Onde:
$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $ é o produto escalar dos vetores.
$ |\overrightarrow{AB}| $ e $ |\overrightarrow{AC}| $ são as magnitudes dos vetores.
Vamos calcular cada parte.
Passo 4
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $:
AB cdot AC
Passo 5
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $. A magnitude de um vetor $ \vec{u} = (u_x, u_y) $ é dada por:
AB
Para $ \overrightarrow{AB} = (5, -5) $:
AC
Para $ \overrightarrow{AC} = (3, 5) $:
u = (ux, uy)
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno: