Considere os pontos A=(-1,2), B=(4,-3), C=(2,7) e o vetor v=(2,5)
Determine o ângulo entre os vetores A B e A C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos dá três pontos no plano: $ A=(-1,2) $, $ B=(4,-3) $ e $ C=(2,7) $. Além disso, temos um vetor $ \vec{v}=(2,5) $, mas, na verdade, ele não será usado diretamente para encontrar o ângulo entre os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $. O conteúdo principal aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com vetores e ângulos entre eles. Precisamos usar as fórmulas de vetores e produto escalar para achar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $. Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto de partida das coordenadas do ponto de chegada.
Para $ \overrightarrow{AB} $:
AB
Para $ \overrightarrow{AC} $:
AC

Passo 3

Agora que temos os dois vetores, vamos lembrar como calcular o ângulo entre eles. A fórmula envolve o produto escalar (ou produto interno) dos vetores e suas magnitudes (comprimentos):
cos(theta) = AB cdot AC|AB| cdot |AC|
Onde:
  • $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $ é o produto escalar dos vetores.
  • $ |\overrightarrow{AB}| $ e $ |\overrightarrow{AC}| $ são as magnitudes dos vetores.
Vamos calcular cada parte.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} $:
AB cdot AC

Passo 5

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $. A magnitude de um vetor $ \vec{u} = (u_x, u_y) $ é dada por:
AB
Para $ \overrightarrow{AB} = (5, -5) $:
AC
Para $ \overrightarrow{AC} = (3, 5) $:
u = (ux, uy)

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -105raiz2 cdot raiz34 = -105 cdot raiz68 = -2raiz68
Podemos simplificar $ \sqrt{68} $:
raiz68
Então:
raiz68 = raiz4 cdot 17 = 2raiz17

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função arco cosseno (ou cosseno inverso):
theta
Calculando isso com uma calculadora:
theta = arccos( -1raiz17 )

Resposta

O ângulo entre os vetores $ \overrightarrow{AB} $ e $ \overrightarrow{AC} $ é aproximadamente $ 104,48^\circ $.

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