Considere os pontos A=(-1,2), B=(4,-3), C=(2,7) e o vetor v=(2,5)
Determine a equação cartesiana da reta por A e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação cartesiana da reta que passa pelos pontos $ A=(-1,2) $ e $ C=(2,7) $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente, a fórmula da equação da reta que passa por dois pontos. Vamos precisar das coordenadas desses pontos para calcular a inclinação da reta e, em seguida, montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta no plano cartesiano pode ser escrita como:
y = mx + b
onde $ m $ é o coeficiente angular (inclinação) da reta e $ b $ é o coeficiente linear (intercepto com o eixo $ y $).

Passo 3

Para encontrar $ m $, que é a inclinação da reta, usamos a fórmula:
m
Vamos aplicar essa fórmula usando os pontos $ A(-1,2) $ e $ C(2,7) $.

Passo 4

Substituindo os valores:
m = 7 - 22 - (-1) = 53
Então, a inclinação da reta é $ \frac{5}{3} $.

Passo 5

Agora que temos $ m = \frac{5}{3} $, podemos usar um dos pontos para encontrar $ b $. Vamos usar o ponto $ A(-1,2) $.
Substituindo na equação $ y = mx + b $:
m = 53

Passo 6

Resolvendo para $ b $:
b

Passo 7

Com $ m = \frac{5}{3} $ e $ b = \frac{11}{3} $, a equação da reta fica:
m = 53

Resposta

A equação cartesiana da reta que passa pelos pontos $ A $ e $ C $ é:
A

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