As deformações principais em um ponto sobre a superfície de alumínio de um tanque são varepsilon1=640 cdot 10^-6, varepsilon2=390 cdot 10^-6. Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. E al =70 GPa, V al =0,33.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos as deformações principais em um ponto na superfície de um tanque de alumínio: varepsilon1=640 cdot 10^-6 e varepsilon2=390 cdot 10^-6. Além disso, estamos considerando um estado plano de tensão, e queremos descobrir as tensões principais nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente as relações entre tensão e deformação em estado plano de tensão, além das propriedades do material: módulo de elasticidade E = 70 GPa e coeficiente de Poisson nu = 0,33.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no estado plano de tensão, as tensões principais ( sigma1 e sigma2) estão relacionadas às deformações principais ( varepsilon1 e varepsilon2) pelas seguintes fórmulas:
sigma1 = E1 - nu^2 ( varepsilon1 + nu varepsilon2 )
sigma2 = E1 - nu^2 ( varepsilon2 + nu varepsilon1 )
Essas equações vêm da teoria da elasticidade e relacionam as deformações e tensões principais considerando o efeito do coeficiente de Poisson.

Passo 3

Vamos calcular o denominador comum primeiro: 1 - nu^2. Substituindo nu = 0,33:
1 - nu^2 = 1 - (0,33)^2 = 1 - 0,1089 = 0,8911

Passo 4

Agora, vamos calcular sigma1 usando a fórmula:
sigma1 = 70 times 10^3 MPa0,8911 ( 640 times 10^-6 + 0,33 times 390 times 10^-6 )
Primeiro, calculamos o que está dentro dos parênteses:
640 times 10^-6 + 0,33 times 390 times 10^-6 = 640 times 10^-6 + 128,7 times 10^-6 = 768,7 times 10^-6
Então:
sigma1 = 70 times 10^30,8911 times 768,7 times 10^-6 approx 70 times 768,70,8911 approx 53.8090,8911 approx 60.426 MPa

Passo 5

Agora, vamos calcular sigma2 usando a mesma abordagem:
sigma2 = 70 times 10^3 MPa0,8911 ( 390 times 10^-6 + 0,33 times 640 times 10^-6 )
Dentro dos parênteses:
390 times 10^-6 + 0,33 times 640 times 10^-6 = 390 times 10^-6 + 211,2 times 10^-6 = 601,2 times 10^-6
Então:
sigma2 = 70 times 10^30,8911 times 601,2 times 10^-6 approx 70 times 601,20,8911 approx 42.0840,8911 approx 47.226 MPa

Resposta

As tensões principais no ponto considerado são aproximadamente sigma1 = 60,43 MPa e sigma2 = 47,23 MPa.

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