Considere os pontos A=(2,3,0), B=(4,3,2) e M=(3,2, t). determine t de maneira que o ângulo A \widehat{M} B seja reto. resp.: t=0 ou t=2.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço: A=(2,3,0), B=(4,3,2) e M=(3,2,t). Pede para determinar o valor(es) de t tal que o ângulo \widehat{A M B} seja reto (ou seja, o ângulo em M seja 90^\circ). Informações relevantes: as coordenadas de A, B e M e a condição de perpendicularidade no ponto M.

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): para trabalhar com ângulos formados por pontos no espaço usamos vetores que partem do vértice do ângulo. Aqui o vértice é M, então consideramos os vetores \vec{MA} e \vec{MB}. Esses vetores são:
\vec{MA}=A-M,\qquad \vec{MB}=B-M.
Vou explicar devagar: subtrair coordenadas significa pegar cada componente de A menos a componente correspondente de M, e o mesmo para B.

Passo 3

Calculemos as componentes dos vetores. Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{MA} = (2-3,\;3-2,\;0-t)=(-1,\;1,\;-t),
\vec{MB} = (4-3,\;3-2,\;2-t)=(1,\;1,\;2-t).

Passo 4

Teoria necessária (didática sobre produto escalar): o produto escalar (ou dot product) de dois vetores (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é dado por
(x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
Propriedade-chave: dois vetores são ortogonais (formam ângulo reto) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Aqui queremos que \vec{MA} e \vec{MB} sejam ortogonais, logo seu produto escalar deve ser zero.

Passo 5

Aplique a fórmula do produto escalar aos vetores que calculamos:
\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(-1)\cdot(1)+(1)\cdot(1)+(-t)\cdot(2-t).
Vou explicar cada termo: (-1)\cdot(1) vem das primeiras componentes, 1\cdot1 das segundas, e (-t)\cdot(2-t) das terceiras.

Passo 6

Simplificamos a expressão:
\vec{MA}\cdot\vec{MB}=-1+1+(-t)(2-t).
Os primeiros dois termos se cancelam ( -1+1=0), sobrando
\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(-t)(2-t).
Expandindo o produto:
(-t)(2-t)=-2t+t^2.
Portanto
\vec{MA}\cdot\vec{MB}=t^2-2t.

Passo 7

Imponha a condição de ortogonalidade (produto escalar igual a zero):
t^2-2t=0.
Isso é uma equação quadrática simples. Fatore t:
t(t-2)=0.
As soluções são os valores que anulam um dos fatores, então
t=0\quad\text{ou}\quad t=2.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito): para t=0, \vec{MA}=(-1,1,0), \vec{MB}=(1,1,2) e o produto escalar é -1+1+0=0. Para t=2, \vec{MA}=(-1,1,-2), \vec{MB}=(1,1,0) e o produto escalar é -1+1+0=0. Em ambos os casos o produto escalar é zero, confirmando que o ângulo em M é reto.

Resposta

t=0 ou t=2

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