Considere os pontos
e
. determine
de maneira que o ângulo
seja reto. resp.:
ou
.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço:
,
e
. Pede para determinar o valor(es) de
tal que o ângulo
seja reto (ou seja, o ângulo em
seja
). Informações relevantes: as coordenadas de
,
e
e a condição de perpendicularidade no ponto
.
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): para trabalhar com ângulos formados por pontos no espaço usamos vetores que partem do vértice do ângulo. Aqui o vértice é
, então consideramos os vetores
e
. Esses vetores são:
Vou explicar devagar: subtrair coordenadas significa pegar cada componente de
menos a componente correspondente de
, e o mesmo para
.
Passo 3
Calculemos as componentes dos vetores. Subtraindo coordenada a coordenada:
Passo 4
Teoria necessária (didática sobre produto escalar): o produto escalar (ou dot product) de dois vetores
e
é dado por
Propriedade-chave: dois vetores são ortogonais (formam ângulo reto) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Aqui queremos que
e
sejam ortogonais, logo seu produto escalar deve ser zero.
Passo 5
Aplique a fórmula do produto escalar aos vetores que calculamos:
Vou explicar cada termo:
vem das primeiras componentes,
das segundas, e
das terceiras.
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Os primeiros dois termos se cancelam (
), sobrando
Expandindo o produto:
Portanto
Passo 7
Imponha a condição de ortogonalidade (produto escalar igual a zero):
Isso é uma equação quadrática simples. Fatore
:
As soluções são os valores que anulam um dos fatores, então
Passo 8
Verificação rápida (bom hábito): para
,
,
e o produto escalar é
. Para
,
,
e o produto escalar é
. Em ambos os casos o produto escalar é zero, confirmando que o ângulo em
é reto.