Determine o ângulo \theta entre os vetores:
\vec{a}=4 \vec{i}-3 \vec{j} e \vec{b}=-\vec{j}+2 \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo \theta entre os vetores dados. Informações fornecidas:
\vec{a}=4\vec{i}-3\vec{j}, \qquad \vec{b}=-\vec{j}+2\vec{k}.
Pergunta clara: encontrar o valor do ângulo \theta entre \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (expliquei como se fosse na prova): o produto escalar relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta.
Aqui:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (número real);
  • \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{a};
  • \|\vec{b}\| é a norma de \vec{b};
  • \theta é o ângulo entre os vetores (o que queremos).
Na prova, você calcula \vec{a}\cdot\vec{b} e as normas e depois isola \cos\theta e aplica arccos para achar \theta.

Passo 3

Primeiro escrevemos as componentes em coordenadas x,y,z. Observe que \vec{a} não tem componente em \vec{k}, então ela tem componente zero nessa direção.
\vec{a}=(4,\,-3,\,0),\qquad \vec{b}=(0,\,-1,\,2).

Passo 4

Calculo do produto escalar pela definição (somar os produtos das componentes correspondentes):
\vec{a}\cdot\vec{b}=4\cdot 0 + (-3)\cdot(-1) + 0\cdot 2 = 0 + 3 + 0 = 3.
Expliquei passo a passo: multiplica-se x com x, y com y, z com z e soma.

Passo 5

Calculo das normas usando a fórmula \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Para \vec{a}:
\|\vec{a}\|=\sqrt{4^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Para \vec{b}:
\|\vec{b}\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{0+1+4}=\sqrt{5}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do passo 2 e resolvemos para \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}=\frac{3}{5\sqrt{5}}.
Se preferir racionalizar o denominador:
\cos\theta=\frac{3}{5\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{25}.
Dica de prova: deixe na forma que você achar mais clara; ambas são equivalentes.

Passo 7

Finalmente isolamos \theta tomando arco-cosseno. Em forma exata:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{5\sqrt{5}}\right).
Para ter uma noção numérica (use a função \operatorname{arccos} da calculadora; cuidado com o modo grau/radiano da sua calculadora):
\frac{3}{5\sqrt{5}}\approx 0{,}268328\quad\Rightarrow\quad \theta\approx 74{,}4^\circ\\ (\text{aprox.}).
Em radianos isso é aproximadamente
\theta\approx 1{,}299\\ \text{rad}.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{5\sqrt{5}}\right)\approx 74{,}4^\circ

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