Determine o ângulo
entre os vetores:
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo
entre os vetores dados. Informações fornecidas:
Pergunta clara: encontrar o valor do ângulo
entre
e
.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (expliquei como se fosse na prova): o produto escalar relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é
Aqui:
-
é o produto escalar (número real); -
é o comprimento (norma) do vetor ; -
é a norma de ; -
é o ângulo entre os vetores (o que queremos).
Na prova, você calcula
e as normas e depois isola
e aplica arccos para achar
.
Passo 3
Primeiro escrevemos as componentes em coordenadas
. Observe que
não tem componente em
, então ela tem componente zero nessa direção.
Passo 4
Calculo do produto escalar pela definição (somar os produtos das componentes correspondentes):
Expliquei passo a passo: multiplica-se
com
,
com
,
com
e soma.
Passo 5
Calculo das normas usando a fórmula
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do passo 2 e resolvemos para
:
Se preferir racionalizar o denominador:
Dica de prova: deixe na forma que você achar mais clara; ambas são equivalentes.
Passo 7
Finalmente isolamos
tomando arco-cosseno. Em forma exata:
Para ter uma noção numérica (use a função
da calculadora; cuidado com o modo grau/radiano da sua calculadora):
Em radianos isso é aproximadamente