Determine
sabendo-se que
e que o ângulo entre
e
é
. resp.: 52
Passo 1
O enunciado pede o valor de
. As informações fornecidas são:
,
e
o ângulo entre e
é
.
Não começamos a calcular ainda; só listamos o que foi dado e o que se quer.
o ângulo entre
Não começamos a calcular ainda; só listamos o que foi dado e o que se quer.
Passo 2
Vamos usar uma identidade fundamental para normas e produto escalar: para quaisquer vetores
e
,
Explicação rápida: isso vem de expandir
usando distributividade do produto escalar. Aqui
é o produto escalar (dot product).
Passo 3
Também precisamos destas propriedades úteis:
- Para escalar
e vetor , . - Para escalares
e vetores , .
Essas são consequência da linearidade do produto escalar.
Passo 4
Aplicando a identidade do Passo 2 com
e
, obtemos
Usando as propriedades do Passo 3:
e
Passo 5
Substituindo os valores das normas dadas:
e
, temos
Calculando os termos numéricos:
logo
Passo 6
Falta calcular
. Usamos a fórmula que relaciona produto escalar e ângulo:
onde
é o ângulo entre os vetores. Aqui
, e
. Portanto
Passo 7
Substituindo
em
, obtemos