Determine |2 \vec{a}+4 \vec{b}|^{2} sabendo-se que \|\vec{a}\|=1,\|\vec{b}\|=2 e que o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} é 120^{\circ}. resp.: 52

Passo 1

O enunciado pede o valor de |2\vec{a}+4\vec{b}|^{2}. As informações fornecidas são:
\|\vec{a}\|=1,
\|\vec{b}\|=2 e
o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} é 120^\circ.
Não começamos a calcular ainda; só listamos o que foi dado e o que se quer.

Passo 2

Vamos usar uma identidade fundamental para normas e produto escalar: para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} + \|\vec{v}\|^{2} + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
Explicação rápida: isso vem de expandir (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) usando distributividade do produto escalar. Aqui \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (dot product).

Passo 3

Também precisamos destas propriedades úteis:
  1. Para escalar \alpha e vetor \vec{a}, \|\alpha\vec{a}\|^{2}=\alpha^{2}\|\vec{a}\|^{2}.
  2. Para escalares \alpha,\beta e vetores \vec{a},\vec{b}, (\alpha\vec{a})\cdot(\beta\vec{b})=\alpha\beta(\vec{a}\cdot\vec{b}).
    Essas são consequência da linearidade do produto escalar.

Passo 4

Aplicando a identidade do Passo 2 com \vec{u}=2\vec{a} e \vec{v}=4\vec{b}, obtemos
\|2\vec{a}+4\vec{b}\|^{2}=\|2\vec{a}\|^{2}+\|4\vec{b}\|^{2}+2\,(2\vec{a}\cdot4\vec{b}).
Usando as propriedades do Passo 3:
\|2\vec{a}\|^{2}=4\|\vec{a}\|^{2},\qquad \|4\vec{b}\|^{2}=16\|\vec{b}\|^{2},
e
2\,(2\vec{a}\cdot4\vec{b})=2\cdot(8)(\vec{a}\cdot\vec{b})=16(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 5

Substituindo os valores das normas dadas: \|\vec{a}\|=1 e \|\vec{b}\|=2, temos
\|2\vec{a}+4\vec{b}\|^{2}=4\cdot1^{2}+16\cdot2^{2}+16(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Calculando os termos numéricos:
4\cdot1^{2}=4,\qquad 16\cdot2^{2}=16\cdot4=64,
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\|2\vec{a}+4\vec{b}\|^{2}=68+16(\vec{a}\cdot\vec{b}).

Passo 6

Falta calcular \vec{a}\cdot\vec{b}. Usamos a fórmula que relaciona produto escalar e ângulo:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores. Aqui \theta=120^\circ, e \cos120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1.

Passo 7

Substituindo \vec{a}\cdot\vec{b}=-1 em \|2\vec{a}+4\vec{b}\|^{2}=68+16(\vec{a}\cdot\vec{b}), obtemos
\|2\vec{a}+4\vec{b}\|^{2}=68+16\cdot(-1)=68-16=52.

Resposta

52

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