Verifique que (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(m \vec{a}+n \vec{b})=0. Justifique geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(m\vec{a}+n\vec{b})=0.
Dados fornecidos: vetores \vec{a} e \vec{b} (qualquer direção e módulo) e escalares m e n. A tarefa é mostrar que o produto escalar entre \vec{a}\times\vec{b} e a combinação linear m\vec{a}+n\vec{b} é igual a zero, e justificar geometricamente por que isso acontece.

Passo 2

Lembrando uma propriedade fundamental do produto vetorial: o vetor \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal (perpendicular) a ambos \vec{a} e \vec{b}. Explico isso com calma: o produto vetorial é definido de forma que sua direção seja perpendicular ao plano gerado por \vec{a} e \vec{b} (usa-se a regra da mão direita para escolher o sentido) e seu módulo é
\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Como \vec{a}\times\vec{b} forma ângulo de 90^\circ com \vec{a} e com \vec{b}, temos imediatamente
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0 \qquad\text{e}\qquad (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0,
pois o produto escalar entre vetores ortogonais é zero.

Passo 3

Agora uso a linearidade do produto escalar em relação ao segundo fator. A propriedade diz que, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e escalares \alpha,\beta,
\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})+\beta(\vec{u}\cdot\vec{w}).
Aplicando isso ao nosso caso com \vec{u}=\vec{a}\times\vec{b}, \vec{v}=\vec{a}, \vec{w}=\vec{b}, \alpha=m e \beta=n, obtemos
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(m\vec{a}+n\vec{b}) = m\;(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} + n\;(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}.

Passo 4

Agora substituímos os resultados do Passo 2 nas parcelas da soma do Passo 3. Como (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0 e (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0, segue que
m\;(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} + n\;(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} = m\cdot 0 + n\cdot 0 = 0.
Portanto
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(m\vec{a}+n\vec{b})=0.

Passo 5

Interpretação geométrica alternativa e intuitiva: o produto escalar (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} é o chamado produto misto (ou produto triple escalar) quando \vec{c} é um vetor qualquer; ele mede o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Se \vec{c} está no mesmo plano gerado por \vec{a} e \vec{b} (ou seja, \vec{c} é uma combinação linear de \vec{a} e \vec{b}, como \vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}), então os três vetores são coplanares e o volume do paralelepípedo é zero. Assim, geometricamente, o produto misto é zero porque não há “altura” fora do plano — logo o resultado é zero.

Resposta

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