Verifique que
. Justifique geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
Dados fornecidos: vetores
e
(qualquer direção e módulo) e escalares
e
. A tarefa é mostrar que o produto escalar entre
e a combinação linear
é igual a zero, e justificar geometricamente por que isso acontece.
Passo 2
Lembrando uma propriedade fundamental do produto vetorial: o vetor
é ortogonal (perpendicular) a ambos
e
. Explico isso com calma: o produto vetorial é definido de forma que sua direção seja perpendicular ao plano gerado por
e
(usa-se a regra da mão direita para escolher o sentido) e seu módulo é
onde
é o ângulo entre
e
. Como
forma ângulo de
com
e com
, temos imediatamente
pois o produto escalar entre vetores ortogonais é zero.
Passo 3
Agora uso a linearidade do produto escalar em relação ao segundo fator. A propriedade diz que, para quaisquer vetores
e escalares
,
Aplicando isso ao nosso caso com
,
,
,
e
, obtemos
Passo 4
Agora substituímos os resultados do Passo 2 nas parcelas da soma do Passo 3. Como
e
, segue que
Portanto
Passo 5
Interpretação geométrica alternativa e intuitiva: o produto escalar
é o chamado produto misto (ou produto triple escalar) quando
é um vetor qualquer; ele mede o volume orientado do paralelepípedo formado por
. Se
está no mesmo plano gerado por
e
(ou seja,
é uma combinação linear de
e
, como
), então os três vetores são coplanares e o volume do paralelepípedo é zero. Assim, geometricamente, o produto misto é zero porque não há “altura” fora do plano — logo o resultado é zero.