Considere os pontos A=(1,2,2), B=(1,3,5), e P=(1,3,4).
Encontre as coordenadas de cada ponto C que pertence a reta r e que o triângulo A P C tenha área igual a 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: $ A = (1, 2, 2) $, $ B = (1, 3, 5) $ e $ P = (1, 3, 4) $. A tarefa é encontrar as coordenadas do ponto $ C $ que está na reta $ r $ de forma que o triângulo formado por $ A $, $ P $ e $ C $ tenha área igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a reta $ r $. Como $ C $ está na reta $ r $ e temos os pontos $ P $ e $ B $, vamos assumir que $ r $ é a reta que passa por esses dois pontos. Para descrever essa reta, usamos a equação paramétrica:
r
Onde $ t $ é um parâmetro real e $ \vec{PB} $ é o vetor que vai de $ P $ a $ B $.

Passo 3

Vamos calcular o vetor $ \vec{PB} $:
PB
Então, a equação paramétrica da reta $ r $ fica:
PB = B - P = (1 - 1, 3 - 3, 5 - 4) = (0, 0, 1)
Isso significa que qualquer ponto $ C $ na reta $ r $ tem coordenadas $ (1, 3, 4 + t) $, onde $ t $ varia nos números reais.

Passo 4

Agora, precisamos achar o valor de $ t $ tal que a área do triângulo $ APC $ seja 1. Para calcular a área de um triângulo formado por três pontos no espaço, usamos a fórmula envolvendo o produto vetorial:
t Á
Onde $ \vec{AP} $ e $ \vec{AC} $ são vetores formados pelos pontos $ A $, $ P $ e $ C $, e $ \times $ representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos calcular os vetores $ \vec{AP} $ e $ \vec{AC} $:
AP
AC

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AP} \times \vec{AC} $:
AP times AC
Calculando o determinante:
AP times AC = i & j & k 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 + t
Simplificando:
AP times AC = i cdot (1 cdot (2 + t) - 2 cdot 1) - j cdot (0 cdot (2 + t) - 2 cdot 0) + k cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 0)
Portanto, o produto vetorial é $ (t, 0, 0) $.

Passo 7

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para encontrar a área:
| AP times AC | = raizt^2 + 0^2 + 0^2 = |t|
Então, a área do triângulo $ APC $ é:
APC Á

Passo 8

Queremos que essa área seja igual a 1:
12 |t| = 1 implies |t| = 2
Isso significa que $ t = 2 $ ou $ t = -2 $.

Passo 9

Com os valores de $ t $, podemos encontrar as coordenadas de $ C $:
Para $ t = 2 $:
t
Para $ t = -2 $:
C

Resposta

As coordenadas dos pontos $ C $ são $ (1, 3, 6) $ e $ (1, 3, 2) $.

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