Considere os pontos
, e
.
Encontre as coordenadas de cada ponto
que pertence a reta
e que o triângulo
tenha área igual a 1.
Encontre as coordenadas de cada ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: $ A = (1, 2, 2) $, $ B = (1, 3, 5) $ e $ P = (1, 3, 4) $. A tarefa é encontrar as coordenadas do ponto $ C $ que está na reta $ r $ de forma que o triângulo formado por $ A $, $ P $ e $ C $ tenha área igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a reta $ r $. Como $ C $ está na reta $ r $ e temos os pontos $ P $ e $ B $, vamos assumir que $ r $ é a reta que passa por esses dois pontos. Para descrever essa reta, usamos a equação paramétrica:
Onde $ t $ é um parâmetro real e $ \vec{PB} $ é o vetor que vai de $ P $ a $ B $.
Passo 3
Vamos calcular o vetor $ \vec{PB} $:
Então, a equação paramétrica da reta $ r $ fica:
Isso significa que qualquer ponto $ C $ na reta $ r $ tem coordenadas $ (1, 3, 4 + t) $, onde $ t $ varia nos números reais.
Passo 4
Agora, precisamos achar o valor de $ t $ tal que a área do triângulo $ APC $ seja 1. Para calcular a área de um triângulo formado por três pontos no espaço, usamos a fórmula envolvendo o produto vetorial:
Onde $ \vec{AP} $ e $ \vec{AC} $ são vetores formados pelos pontos $ A $, $ P $ e $ C $, e $ \times $ representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos calcular os vetores $ \vec{AP} $ e $ \vec{AC} $:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AP} \times \vec{AC} $:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Portanto, o produto vetorial é $ (t, 0, 0) $.
Passo 7
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para encontrar a área:
Então, a área do triângulo $ APC $ é:
Passo 8
Queremos que essa área seja igual a 1:
Isso significa que $ t = 2 $ ou $ t = -2 $.
Passo 9
Com os valores de $ t $, podemos encontrar as coordenadas de $ C $:
Para $ t = 2 $:
Para $ t = -2 $:
Resposta
As coordenadas dos pontos $ C $ são $ (1, 3, 6) $ e $ (1, 3, 2) $.