Considere o triângulo isósceles A B C, com o ângulo B A C=100^circ e B D bissetriz do ângulo A B C. Prove que
B D+A D=B C
Sugestāo:
  • Provar que A B D e B D E são congruentes.
  • Tomar um ponto F no prolongamento do segmento B D tal que A D=D F.
  • Mostrar que DCE e DFC são congruentes.
  • Concluir que B D+A D=B C.
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Passo 1

Estamos num triângulo isósceles ABC com AB=AC e ∠BAC=100°, e BD é bissetriz de ∠ABC (logo ∠ABC=40° e cada metade é 20°). Queremos mostrar que BD+AD=BC usando trigonometria e a Lei dos Senos.

Passo 2

No triângulo ABD temos as medidas dos ângulos: ∠BAD=100° (é ∠A do triângulo ABC), ∠ABD=20° (metade de 40°) e, pela soma dos ângulos, ∠ADB=180°−100°−20°=60°.

Passo 3

Aplicando a Lei dos Senos em ABD para calcular BD e AD em função de AB:
BD:!sin100^circ = AB:!sin60^circRightarrow BD=ABsin100^circsin60^circ,
AD:!sin20^circ = AB:!sin60^circRightarrow AD=ABsin20^circsin60^circ,

Passo 4

Somando BD+AD:
BD+AD=ABsin100^circ+sin20^circsin60^circ,

Passo 5

Usando a identidade sin100^circ+sin20^circ=2sin60^circcos40^circ, fica
BD+AD=AB2sin60^circcos40^circsin60^circ=2ABcos40^circ

Passo 6

Agora, no triângulo ABC pela Lei dos Senos:
BC:!sin100^circ = AB:!sin40^circRightarrow BC=ABsin100^circsin40^circ=ABsin80^circsin40^circ=2ABcos40^circ

Passo 7

Como BD+AD=2ABcos40^circ=BC, chegamos ao resultado pedido.

Resposta

BD+AD=BC.

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