Considere os pontos no plano \mathbb{R}^{2} :
A=(1,2), \quad B=(4,-1), \quad C=(-2,3) .
a) Determine a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Determine a equação da reta perpendicular à reta do item (a) e que passa pelo ponto C.
c) Calcule a distância do ponto C até a reta determinada no item (a).

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos no plano:
A=(1,2),\qquad B=(4,-1),\qquad C=(-2,3).
As perguntas são:
  • (a) Determinar a equação paramétrica da reta que passa por A e B.
  • (b) Determinar a equação da reta perpendicular à reta do item (a) que passa por C.
  • (c) Calcular a distância do ponto C até a reta determinada no item (a).
Vou usar somente as informações acima para resolver cada item passo a passo.

Passo 2

Primeiro vou construir a reta que passa por A e B em forma paramétrica. Ideia principal: uma reta pode ser escrita como um ponto inicial mais um parâmetro vezes um vetor direção.
  • Definição/conceito: se P_0=(x_0,y_0) é um ponto da reta e \vec{v}=(v_x,v_y) é um vetor direção da reta, a equação paramétrica é
(x,y) = (x_0,y_0) + t\,(v_x,v_y),\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja
x = x_0 + t v_x,\quad y = y_0 + t v_y.
Aqui t é o parâmetro que “anda” sobre a reta.

Passo 3

Vamos obter o vetor direção \vec{v} a partir de A e B. O vetor que vai de A a B é
\vec{v}= \overrightarrow{AB}=B-A=(4-1,\\\ -1-2)=(3,-3).
Então uma forma natural da equação paramétrica usando o ponto A é (escolhi t como parâmetro)
x=1+3t,\qquad y=2-3t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto resolve o item (a): peguei A como ponto inicial e \vec{v}=(3,-3) como direção.

Passo 4

Agora o item (b): reta perpendicular à reta AB que passa por C.
Duas maneiras de pensar em perpendicularidade (explico as duas porque são úteis em prova):
  • Geometria com inclinações (declive/coeficiente angular): se uma reta tem coeficiente angular m, uma reta perpendicular tem coeficiente -1/m (desde que m\neq0).
  • Produto escalar: dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y) são perpendiculares se e só se \vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=0.
Vou usar as duas para ficar seguro e didático.

Passo 5

Coeficiente angular da reta AB: a partir da direção \vec{v}=(3,-3),
m_{AB}=\frac{v_y}{v_x}=\frac{-3}{3}=-1.
Logo o coeficiente angular da reta perpendicular é
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{AB}}=-\frac{1}{-1}=1.
Então a reta procurada tem inclinação 1.
Agora escrevo a equação da reta com inclinação 1 passando por C=(-2,3). Usando a forma ponto-declive:
y-y_0 = m (x-x_0).
Substituindo x_0=-2,\\ y_0=3,\\ m=1:
y-3 = 1\,(x+2).
Simplificando:
y-3 = x+2 \quad\Rightarrow\quad y = x+5.
Também posso escrever em forma padrão:
x - y + 5 = 0.

Passo 6

Comentário rápido usando produto escalar (checagem alternativa): a direção de AB é (3,-3). Um vetor perpendicular é, por exemplo, (1,1) (ou (3,3)), pois
(3,-3)\cdot(1,1)=3-3=0.
Tomando (1,1) como direção e o ponto C, a forma paramétrica da reta perpendicular é
x=-2 + s,\qquad y=3 + s,\qquad s\in\mathbb{R},
que elimina s e dá y=x+5, consistente com o item (b).

Passo 7

Agora o item (c): distância de C até a reta AB.
Fórmula que vamos usar (muito usada em prova): se uma reta tem equação em forma padrão
Ax + By + D = 0
e P=(x_0,y_0) é um ponto, a distância perpendicular de P à reta é
\text{dist}=\frac{|A x_0 + B y_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
Explicando a fórmula de forma simples: o numerador é o valor (absoluto) da expressão da reta no ponto, que mede o quanto o ponto “passou” do lado da reta; o denominador normaliza pelo comprimento do vetor normal (A,B). Essa fórmula vem de projetar o vetor que liga um ponto da reta a P sobre o vetor normal (A,B).

Passo 8

Aplicando ao nosso caso: primeiro escrevo a equação de AB na forma Ax+By+D=0.
A partir do coeficiente angular m_{AB}=-1, a forma explicita foi y=-x+3. Colocando todos os termos do mesmo lado:
x + y - 3 = 0.
Então A=1,\\ B=1,\\ D=-3.
O ponto C é (-2,3). Substituo na fórmula:
A x_0 + B y_0 + D = 1\cdot(-2) + 1\cdot 3 + (-3) = -2 + 3 - 3 = -2.
Valor absoluto: |-2| = 2.
Denominador:
\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo a distância é
\text{dist}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Resposta

(a) \;x=1+3t,\quad y=2-3t,\quad t\in\mathbb{R}.
(b) \;y=x+5 (ou \;x-y+5=0.)
(c) \;\sqrt{2}

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