Considere os pontos E=(1,6), F=(2,3) e as retas r1 e r2 dadas por:
r1:l x=2 t-1 y=5 t+1 ; t in R e r2: 3 x-y=3
Obtenha os pontos A, B, G e D de modo que D E seja a projeção ortogonal do segmento A B sobre a reta r1 e F G seja a projeção ortogonal do segmento A B sobre a reta r2, sabendo que A B=(1,2).

Passo 1

Resumindo o que temos e o que precisamos:
  • Dois pontos dados:
com vetor diretor .
  • A reta em forma implícita
  • Queremos pontos e tais que .
  • Além disso, e são as projeções ortogonais de e em , e e são as projeções ortogonais de e em .
    Como e já são conhecidos, vamos usar as condições de projeção para achar (e daí ), depois calcular e .

Passo 2

Condição de projeção de A=(xA,yA) sobre r2:
Para a reta 3x-y-3=0 o ponto projetado de (xA,yA) é
l(xA - tfrac3(3xA - yA -3)3^2+(-1)^2,;yA - tfrac-1(3xA - yA -3)3^2+(-1)^2r)
Como essa projeção deve ser F=(2,3), temos
a^2+b^2=3^2+(-1)^2=10, d=3xA-yA-3,
e as coordenadas dão a mesma equação
xA - 3d10=2 Longrightarrow 10xA -3d =20
Mas d=3xA-yA-3, então
10xA -3(3xA - yA -3)=20 Longrightarrow 10xA -9xA +3yA +9=20 Longrightarrow xA +3yA =11

Passo 3

Condição de projeção de B=A+(1,2)=(xA+1,yA+2) sobre r1:
A projeção de um ponto P em r1 se escreve
P0 + v1(P-P0)cdot v1v1cdotv1,
onde P0=(-1,1) e v1=(2,5) tem v1cdotv1=29.
Para P=B temos
B-P0=(xA+2,;yA+1), (B-P0)cdotv1=2(xA+2)+5(yA+1)=2xA+5yA+9
Como essa projeção deve ser E=(1,6), o parâmetro é
t=2xA+5yA+929
e da abscissa
-1 + 2t =1 Longrightarrow 2t=2 Longrightarrow t=1 Longrightarrow 2xA+5yA+9=29
logo
2xA+5yA =20

Passo 4

Resolvendo o sistema linear
xA + 3yA =11, 2xA +5yA =20,
substituímos xA=11-3yA na segunda equação:
2(11-3yA)+5yA=20 Longrightarrow 22 -6yA +5yA=20 Longrightarrow yA=2,
e daí xA=11-3cdot2=5.
Portanto
A=(5,2), B=A+(1,2)=(6,4)

Passo 5

Agora calculamos D e G:
  1. D é a projeção de A em r1. Temos
A-P0=(5+1,2-1)=(6,1), (6,1)cdot(2,5)=12+5=17, t=1729
Logo
D = (-1,1) + tfrac1729(2,5) = l(-1+tfrac3429,;1+tfrac8529r) = l(tfrac529,;tfrac11429r)
  1. G é a projeção de B=(6,4) em r2:3x-y-3=0.
    Aqui d=3cdot6-4-3=11 e a^2+b^2=10, então
G=l(6-tfrac3cdot1110,;4+tfrac1110r) =l(tfrac2710,;tfrac5110r)

Resposta

A=(5,2)
B=(6,4)
D=l(tfrac529,tfrac11429r)
G=l(tfrac2710,tfrac5110r)

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