Seja um paralelogramo tal que o lado está contido na reta e o lado está contido na reta , onde é a reta paralela ao vetor que passa pela origem e é a reta perpendicular ao vetor que contém o ponto . Determine os vértices e de modo que a reta , que contém a diagonal , seja paralela ao vetor e o paralelogramo tenha área igual a 6 , sabendo que o vértice A pertence ao semiplano aberto .
Passo 1
O enunciado pede os vértices de um paralelogramo tais que: . está em , a reta que passa pela origem e é paralela a , ou seja . . está em , a reta que contém e é perpendicular a . . A diagonal está na reta . . A área do paralelogramo é . . O vértice satisfaz o semiplano aberto .
Para resolver, vamos usar: parametrização de retas, condição de paralelismo de vetores, fórmula da área e a relação vetorial em paralelogramo A+B-D=C.
Passo 2
Determinar B como interseção de ellcolon y=x com r.
A reta r tem direção vec d tal que vec dcdotvec v=0. Como vec v=(1,2), podemos escolher vec d=(2,-1) e escrever
rcolon (x,y)=(3,0)+t,(2,-1),
No ponto de interseção, y=x e (x,y)=(3+2t,,-t). Igualando 3+2t=-t dá t=-1.
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B=(3+2(-1),,-(-1))=(1,1),
Passo 3
Parametrizamos Ainell como A=(a,a). A condição 2x-y>1 em A dá 2a-a>1Rightarrow a>1.
Também Din r, então D=(3+2t,,-t) para algum t.
Como ADparal<=lvec w=(5,-1), existe lambda tal que