Seja A B D C um paralelogramo tal que o lado A B está contido na reta ell e o lado B D está contido na reta r, onde ell é a reta paralela ao vetor u=(1,1) que passa pela origem e r é a reta perpendicular ao vetor v=(1,2) que contém o ponto P=(3,0). Determine os vértices A, B, C e D de modo que a reta s, que contém a diagonal A D, seja paralela ao vetor w=(5,-1) e o paralelogramo A B D C tenha área igual a 6 , sabendo que o vértice A pertence ao semiplano aberto 2 x-y>1.

Passo 1

O enunciado pede os vértices A,B,C,D de um paralelogramo ABDC tais que:
1. AB está em ell, a reta que passa pela origem e é paralela a vec u=(1,1), ou seja ellcolon y=x.
2. BD está em r, a reta que contém P=(3,0) e é perpendicular a vec v=(1,2).
3. A diagonal AD está na reta sparal<=lvec w=(5,-1).
4. A área do paralelogramo é 6.
5. O vértice A satisfaz o semiplano aberto 2x-y>1.
Para resolver, vamos usar: parametrização de retas, condição de paralelismo de vetores, fórmula da área l|det(AB,AD)r| e a relação vetorial em paralelogramo A+B-D=C.

Passo 2

Determinar B como interseção de ellcolon y=x com r.
A reta r tem direção vec d tal que vec dcdotvec v=0. Como vec v=(1,2), podemos escolher vec d=(2,-1) e escrever
rcolon (x,y)=(3,0)+t,(2,-1),
No ponto de interseção, y=x e (x,y)=(3+2t,,-t). Igualando 3+2t=-t t=-1.
Logo
B=(3+2(-1),,-(-1))=(1,1),

Passo 3

Parametrizamos Ainell como A=(a,a). A condição 2x-y>1 em A 2a-a>1Rightarrow a>1.
Também Din r, então D=(3+2t,,-t) para algum t.
Como ADparal<=lvec w=(5,-1), existe lambda tal que
D-A=(3+2t-a,,-t-a)=lambda,(5,-1),
Isto implica
3+2t-a=5lambda, -t-a=-lambda;Longrightarrow;lambda=t+a,
Substituindo em 3+2t-a=5(t+a) resulta
3+2t-a=5t+5aLongrightarrow t+2a=1Longrightarrow t=1-2a
Assim
D=l(3+2(1-2a),,-(1-2a)r)=(5-4a,;2a-1),

Passo 4

Calcular a área do paralelogramo como
Área=l|det(AB,AD)r|,, Á
onde
AB=B-A=(1-a,,1-a) e
AD=D-A=(5-5a,;a-1).
O determinante é
det!1-a & 5-5a[6pt]1-a & a-1 =(1-a)(a-1)-(1-a)(5-5a) =(1-a)l((a-1)-(5-5a)r) =-6(a-1)^2
Logo Área=6(a-1)^2Á. Como deve ser 6, impomos
6(a-1)^2=6Longrightarrow (a-1)^2=1Longrightarrow a=2 (pois a>1)
Portanto A=(2,2) e D=(5-8,;4-1)=(-3,3).
]

Passo 5

No paralelogramo ABDC vale
C=A+D-B,,
logo
C=(2,2)+(-3,3)-(1,1)=(-2,4)

Resposta

A=(2,2),
B=(1,1),
D=(-3,3),
C=(-2,4).

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