Encontre os vértices e do paralelogramo tal que , é múltiplo do vetor e é perpendicular a , onde e são as retas:

Passo 1

O enunciado dá as condições para o paralelogramo
  • .
    - é múltiplo de , logo .
    - , onde tem equação .
Para resolver vamos:
. usar a condição de perpendicularidade para achar ,
. usar a condição de paralelismo para achar ,
. usar a propriedade de paralelogramo (ou o fato de que os diagonais se bissetam) para achar .

Passo 2

Como ACperp r3, e o vetor normal de r3 é vec n=(2,-3), temos
ACcdotvec n=0
Se A=(t+1,,-2t+3) e C=(2,3), então
AC=(2-(t+1),,3-(-2t+3))=(1-t,,2t)
Impondo perpendicularidade,
(1-t,,2t)cdot(2,-3)=2(1-t)-3cdot2t=2-2t-6t=2-8t=0 ;Longrightarrow;t=tfrac14
Logo
A=l(1+tfrac14,,-2cdottfrac14+3r)=l(tfrac54,;tfrac52r)

Passo 3

Para que ABparal<=l(1,2) e Bin r2, escrevemos
B=(-5s+3,;4s-1),
AB=B-A=l(-5s+3-tfrac54,;4s-1-tfrac52r) =l(-5s+tfrac74,;4s-tfrac72r)
Deve existir mu tal que
(-5s+tfrac74,,4s-tfrac72)=mu,(1,2)
Isto dá o sistema
-5s+tfrac74=mu, 4s-tfrac72=2mu ;Longrightarrow;s=tfrac12,;mu=-tfrac34
Então
B=l(-5cdottfrac12+3,;4cdottfrac12-1r) =l(tfrac12,;1r)

Passo 4

Num paralelogramo, os diagonais se bissetam, logo
A+D=B+C.
Assim
D=B+C-A =l(tfrac12,1r)+l(2,3r)-l(tfrac54,tfrac52r) =l(tfrac54,;tfrac32r)

Resposta

B = l(tfrac12,1r)
C = l(2,3r)
D = l(tfrac54,tfrac32r)

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