Considere o retângulo A B D C, o ponto E in A B e o ponto F in B D tais que |A B|=4, |A C|=3,|A E|=2 e |F D|=1. Escolhendo um sistema de eixos ortogonais adequado, determine o cosseno do ângulo formado pelas retas r e l, e calcule a distância do vértice C ao ponto P, onde r é a reta que contém o segmento A F, l é a reta que contém o segmento C E e P=C E cap A F.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um retângulo A B D C com lvert A Brvert=4 e lvert A Crvert=3, um ponto Ein A B com lvert A Ervert=2 e um ponto Fin B D com lvert F Drvert=1. As retas são r=A F e l=C E. Precisamos achar o cosseno do ângulo entre r e l e a distância do vértice C até o ponto P de interseção dessas retas.

Passo 2

Escolhemos eixos ortogonais de modo que
A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3), D=(4,3)
Como lvert A Ervert=2, o ponto E fica em
E=(2,0)
Como lvert F Drvert=1 sobre B D, o ponto F fica em
F=(4,3-1)=(4,2)

Passo 3

Os vetores diretores das retas são
u=A F=(4,2), v=C E=(2,-3)
Calculamos o cosseno do ângulo theta entre elas por
costheta =ucdotv|u|;|v| =4cdot2+2cdot(-3)raiz4^2+2^2,raiz2^2+(-3)^2 =22raiz5,raiz13 =1raiz65

Passo 4

Para achar P=C Ecap A F, parametrizamos:
A F:;(x,y)=(0,0)+t(4,2)=(4t,2t), C E:;(x,y)=(0,3)+s(2,-3)=(2s,3-3s)
Igualando coordenadas:
4t=2s, 2t=3-3s
Da primeira vem s=2t. Substituindo na segunda:
2t=3-3(2t);Longrightarrow;8t=3;Longrightarrow;t=38,;s=34
Logo
P=l(4cdot38,,2cdot38r) =l(tfrac32,,tfrac34r)

Passo 5

A distância de C=(0,3) a P=(tfrac32,tfrac34) é
C P =raizl(tfrac32-0r)^2+l(tfrac34-3r)^2 =raiztfrac94+tfrac8116 =raiztfrac11716 =3raiz134

Resposta

O cosseno do ângulo entre r e l é 1raiz65 e a distância de C até P é 3raiz134.

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