Considere os pontos
e
. Determine:
a) a equação afim da reta
que passa por
e
;
b) as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta
e cuja distância ao ponto
é o dobro da distância ao ponto
;
c) as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta
e cuja distância ao ponto
é
vezes a distância ao ponto
, onde
.
a) a equação afim da reta
b) as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta
c) as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e
e pede: (a) a equação afim da reta
que passa por
e
; (b) os pontos em
tais que a distância a
é o dobro da distância a
; (c) generalizar para a distância a
ser
vezes a distância a
,
. Vamos usar geometria analítica: primeiro achamos a forma implícita e a forma paramétrica de
, depois impomos condições de distância.
Passo 2
Para achar a equação de
na forma implícita, calculamos o coeficiente angular
Logo uma equação ponto-declive é
que em forma geral vira
Passo 3
Para trabalhar com distâncias, é conveniente a forma paramétrica. Tomemos
onde
. Quando
temos
, quando
temos
.
Passo 4
(b) Queremos pontos
tais que
Como
impor
dá
Isto gera
e
. Substituindo em
vem
Passo 5
(c) Para
queremos
Isto dá as duas retas
e
, cujas soluções são
Substituindo em
obtemos os dois pontos em função de
:
No caso
só há solução única
, i.e.\ o ponto médio.
Resposta
(a)
.
(b)
e
.
(c) Os dois pontos
sendo que para
aparece apenas o ponto médio
.