Considere os pontos P=(-1,3) e Q=(2,2). Determine:
a) a equação afim da reta r que passa por P e Q;
b) as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta r e cuja distância ao ponto Q é o dobro da distância ao ponto P;
c) as coordenadas dos pontos que estão sobre a reta r e cuja distância ao ponto Q é lambda vezes a distância ao ponto P, onde lambda>0.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P=(-1,3) e Q=(2,2) e pede: (a) a equação afim da reta r que passa por P e Q; (b) os pontos em r tais que a distância a Q é o dobro da distância a P; (c) generalizar para a distância a Q ser lambda vezes a distância a P, lambda>0. Vamos usar geometria analítica: primeiro achamos a forma implícita e a forma paramétrica de r, depois impomos condições de distância.

Passo 2

Para achar a equação de r na forma implícita, calculamos o coeficiente angular
m = 2-32 -(-1) = -tfrac13
Logo uma equação ponto-declive é
y-3 = -tfrac13(x+1),
que em forma geral vira
x + 3y - 8 = 0

Passo 3

Para trabalhar com distâncias, é conveniente a forma paramétrica. Tomemos
r(t)=P + t,(Q-P) = (-1,3) + t,(3,-1) = (-1+3t,;3-t),
onde tinR. Quando t=0 temos P, quando t=1 temos Q.

Passo 4

(b) Queremos pontos X=r(t) tais que
dist(X,Q)=2,dist(X,P)
Como
|!X-P|^2 =10,t^2, |!X-Q|^2 =10,(t-1)^2,
impor |!X-Q|^2=4,|!X-P|^2
(t-1)^2 =4,t^2 ;Longrightarrow; t-1 = pm 2t
Isto gera t=-1 e t=tfrac13. Substituindo em r(t) vem
t=-1;Longrightarrow;X=(-1+3cdot(-1),,3-(-1)) =(-4,4),
t=tfrac13;Longrightarrow;X=(-1+3cdottfrac13,,3-tfrac13) =(0,tfrac83)

Passo 5

(c) Para lambda>0 queremos
|!X-Q| = lambda,|!X-P| ;Longrightarrow; (t-1)^2 =lambda^2,t^2 ;Longrightarrow; |t-1| = lambda,|t|
Isto dá as duas retas t-1=lambda t e t-1=-lambda t, cujas soluções são
t1 = 11+lambda, t2 = 11-lambda(lambdaneq1)
Substituindo em r(t) obtemos os dois pontos em função de lambda:
X1 = l(-1+311+lambda,;3-11+lambdar) = l(tfrac2-lambda1+lambda,;tfrac2+3lambda1+lambdar),
X2 = l(-1+311-lambda,;3-11-lambdar) = l(tfrac2+lambda1-lambda,;tfrac2-3lambda1-lambdar)
No caso lambda=1 só há solução única t=tfrac12, i.e.\ o ponto médio.

Resposta

(a) x+3y-8=0.
(b) (-4,4) e l(0,tfrac83r).
(c) Os dois pontos
l(tfrac2-lambda1+lambda,;tfrac2+3lambda1+lambdar) e l(tfrac2+lambda1-lambda,;tfrac2-3lambda1-lambdar),
sendo que para lambda=1 aparece apenas o ponto médio l(tfrac12,tfrac52r).

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