Dadas as equações paramétricas das retas abaixo, diga quais delas representam a mesma reta e quais são paralelas:
r1:l x=2 t+1 y=-2 t+4 ; t in R ; r2:l x=-6 t+3 y=6 t+1 ; t in R ; r3:l x=t+2 y=-t+3 ; t in R

Passo 1

O enunciado apresenta três retas no plano em forma paramétrica:
r1: x=2t+1 y=-2t+4 , r2: x=-6t+3 y=6t+1 , r3: x=t+2 y=-t+3 , tinR
O conteúdo envolvido é geometria analítica: extração de vetores direção, verificação de paralelismo (colinearidade de vetores) e identificação de coincidência de retas.

Passo 2

Extraímos o vetor direção de cada reta a partir dos coeficientes de t:
  • Para r1, vec v1=(2,,-2).
  • Para r2, vec v2=(-6,,6).
  • Para r3, vec v3=(1,,-1).

Passo 3

Verificamos se esses vetores são múltiplos uns dos outros (colineares):
vec v2 = -3,(2,,-2) = -3,vec v1, vec v3 = tfrac12,(2,,-2) = tfrac12,vec v1
Logo vec v1,vec v2,vec v3 são colineares e, portanto, todas as três retas são paralelas entre si.

Passo 4

Para checar coincidência entre r1 e r3, igualamos as coordenadas:
2t+1 = s+2, -2t+4 = -s+3
Da primeira equação vem s=2t-1. Substituindo na segunda:
-2t+4 = -(2t-1)+3 = -2t+1+3 = -2t+4,
que é verdade para todo t. Portanto r1 e r3 coincidem, isto é, representam a mesma reta.

Passo 5

Para testar r1 versus r2, igualamos
2u+1 = -6t+3, -2u+4 = 6t+1
Da primeira obtemos u=-3t+1. Substituindo na segunda:
-2(-3t+1)+4 = 6t+1 ;Longrightarrow; 6t-2+4 = 6t+1 ;Longrightarrow; 2 = 1,
contradição. Logo não há ponto em comum e r2 é paralela, mas distinta de r1.

Resposta

As três retas são paralelas. Em particular,
r1 e r3 coincidem (são a mesma reta),
enquanto r2 é paralela a elas, porém distinta.

Exercícios relacionados