Dadas as equações paramétricas das retas abaixo, diga quais delas representam a mesma reta
quais são paralelas:
Passo 1
O enunciado apresenta três retas no plano em forma paramétrica:
O conteúdo envolvido é geometria analítica: extração de vetores direção, verificação de paralelismo (colinearidade de vetores) e identificação de coincidência de retas.
Passo 2
Extraímos o vetor direção de cada reta a partir dos coeficientes de
:
- Para
, . - Para
, . - Para
, .
Passo 3
Verificamos se esses vetores são múltiplos uns dos outros (colineares):
Logo
são colineares e, portanto, todas as três retas são paralelas entre si.
Passo 4
Para checar coincidência entre
e
, igualamos as coordenadas:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
que é verdade para todo
. Portanto
e
coincidem, isto é, representam a mesma reta.
Passo 5
Para testar
versus
, igualamos
Da primeira obtemos
. Substituindo na segunda:
contradição. Logo não há ponto em comum e
é paralela, mas distinta de
.
Resposta
As três retas são paralelas. Em particular,
e
coincidem (são a mesma reta),
enquanto é paralela a elas, porém distinta.
enquanto