Seja P o paralelogramo A B D C cujas diagonais estão sobre as retas
r1:l x=t+1 y=-t+1 ; t in R e r2:l x=-2 t+1 y=t+2 ; t in R
Sabendo que A=(1,1) e que A B subset r, onde r é uma reta paralela ao vetor (2,1), obtenha os vértices B, C e D de P.

Passo 1

O enunciado define um paralelogramo
Temos o vértice é paralelo ao vetor . Como em todo paralelogramo as diagonais se bissetam num ponto médio comum, vamos encontrar esse ponto (interseção de e ) e usar as relações de ponto médio para achar .

Passo 2

Encontrar M como interseção de r1 e r2. Igualando coordenadas:
t+1=-2s+1implies t=-2s, -t+1=s+2
Substituindo t=-2s em -t+1=s+2
2s+1=s+2implies s=1, t=-2
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M=(-1,3)

Passo 3

Como A e C estão em r1 e M é o ponto médio de AC, vale
M=A+C2 Longrightarrow C=2M-A =2(-1,3)-(1,1)=(-3,5)

Passo 4

O ponto B pertence à reta que sai de A na direção (2,1) e também a r2. Escrevemos
B=A+lambda(2,1)=(1+2lambda,1+lambda)
e igualamos a um ponto genérico de r2, ( -2s+1,,s+2). Assim
1+2lambda=-2s+1, 1+lambda=s+2
leva a lambda=tfrac12 e s=-tfrac12. Portanto
B=(1+2cdottfrac12,;1+tfrac12)=(2,tfrac32)

Passo 5

Em seguida, M é também ponto médio de BD, de modo que
B+D=2M Longrightarrow D=2M-B =2(-1,3)-(2,tfrac32)=(-4,tfrac92)

Resposta

B=(2,tfrac32), C=(-3,5) e D=(-4,tfrac92).

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