Para que valores de lambda in R, as retas (lambda-1) x+6 y=-1 e 4 x+(lambda+1) y=1 são paralelas?

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambdainR para os quais as retas
(lambda-1)x+6y=-1
e
4x+(lambda+1)y=1
são paralelas. O conteúdo que vamos usar é que duas retas são paralelas se e somente se tiverem o mesmo coeficiente angular (slope), desde que essas retas não sejam verticais.

Passo 2

Reescrevemos cada reta na forma y = mx + b para identificar o coeficiente angular m.
Para a primeira reta:
(lambda-1)x + 6y = -1 Longrightarrow 6y = -(lambda-1)x -1 Longrightarrow y = -lambda-16,x - 16
Logo seu coeficiente angular é
m1 = -lambda-16

Passo 3

Para a segunda reta:
4x + (lambda+1)y = 1 Longrightarrow (lambda+1)y = -4x + 1 Longrightarrow y = -4lambda+1,x + 1lambda+1
Logo seu coeficiente angular é
m2 = -4lambda+1,
com a restrição lambda+1neq 0 (para não dividir por zero).

Passo 4

Para as retas serem paralelas, exigimos m1 = m2. Assim,
-lambda-16 = -4lambda+1 Longrightarrow lambda-16 = 4lambda+1 Longrightarrow (lambda-1)(lambda+1) = 24
Isso dá
lambda^2 - 1 = 24 Longrightarrow lambda^2 = 25 Longrightarrow lambda = pm 5

Resposta

lambda = 5 ou lambda = -5.

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