Considere os pontos P=(1,0,3) e Q=(-1,-1,2). Determine todos os pontos de \mathbb{R}^{3} que equidistam de P e Q.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P=(1,0,3) e Q=(-1,-1,2) em \mathbb{R}^3 e pede a descrição de todos os pontos X=(x,y,z) que satisfazem \mathrm{dist}(X,P)=\mathrm{dist}(X,Q). O conteúdo aqui é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados, que sempre é o plano mediador perpendicular ao segmento PQ. Para achar sua equação, basta igualar as distâncias ao quadrado de X até P e até Q.

Passo 2

Escrevemos a igualdade das distâncias ao quadrado:
(x-1)^2 + (y-0)^2 + (z-3)^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2.
Isso evita raízes e preserva a condição de equidistância.

Passo 3

Expandindo ambos os lados e cancelando x^2, y^2 e z^2, temos:
x^2 -2x +1 + y^2 + z^2 -6z +9 = x^2 +2x +1 + y^2 +2y +1 + z^2 -4z +4.
Cancelando os termos quadráticos e somando os constantes,
o lado esquerdo fica -2x -6z +10 e o direito fica 2x +2y -4z +6.
Passando tudo para um lado:
-2x -6z +10 - (2x +2y -4z +6) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -4x -2y -2z +4 = 0.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por -2 obtemos a equação
2x + y + z - 2 = 0.
Esse é o plano mediador perpendicular a PQ.

Resposta

A coleção de pontos de \mathbb{R}^3 equidistantes de P e Q é o plano
2x + y + z = 2.

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