Seja r a reta que passa pelo ponto P=(5,1,3) e é paralela ao vetor \vec{v}=(1,4,-2).
(a) Determine uma equação vetorial de r esboce a reta.
(b) Determine outros dois pontos desta reta.
(c) Determine, caso haja, a interseção de r com os planos coordenados.
(d) Determine, caso haja, a interseção de r com o plano de equação 2 x+3 y+4 z=1.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com uma reta em \mathbb{R}^3: ela passa por P=(5,1,3) e é paralela ao vetor \vec v=(1,4,-2). O conteúdo é “equação paramétrica de reta”, “detalhamento de pontos” e “interseção de reta com planos”. Vamos usar a forma vetorial/paramétrica da reta e depois resolver interseções substituindo o parâmetro.

Passo 2

Para obter a equação vetorial de r\), lembramos que toda reta em \(\mathbb{R}^3\) pode ser escrita como \[\mathbf{r}(t)=\mathbf{P}+t\,\vec v.
Aqui \mathbf{P}=(5,1,3) e \vec v=(1,4,-2). Assim,
\mathbf{r}(t)=(5,1,3)+t\,(1,4,-2),
ou, coordenada a coordenada,
\begin{cases} x(t)=5+t,\\\ y(t)=1+4t,\\\ z(t)=3-2t. \end{cases}
Para esboçar, marcamos o ponto P\] e traçamos uma seta na direção de \(\vec v; a reta passa por P e segue indefinidamente nesse sentido e no contrário.

Passo 3

Para achar dois outros pontos de r, basta escolher valores distintos de t:
  • Se t=1,
(x,y,z)=(5+1,\;1+4,\;3-2)=(6,5,1).
  • Se t=-1,
(x,y,z)=(5-1,\;1-4,\;3+2)=(4,-3,5).

Passo 4

Interseção com planos coordenados:
  1. Plano xy z=0:
    3-2t=0\implies t=\tfrac32.
    Então x=5+\tfrac32=\tfrac{13}2, y=1+4\cdot\tfrac32=7.
    Ponto \bigl(\tfrac{13}2,7,0\bigr).
  2. Plano yz x=0:
    5+t=0\implies t=-5.
    Então y=1+4(-5)=-19, z=3-2(-5)=13.
    Ponto (0,-19,13).
  3. Plano xz y=0:
    1+4t=0\implies t=-\tfrac14.
    Então x=5-\tfrac14=\tfrac{19}4, z=3-2(-\tfrac14)=\tfrac72.
    Ponto \bigl(\tfrac{19}4,0,\tfrac72\bigr).

Passo 5

Interseção com o plano 2x+3y+4z=1. Substituindo x=5+t, y=1+4t, z=3-2t:
2(5+t)+3(1+4t)+4(3-2t)=1 \;\Longrightarrow\; 10+2t+3+12t+12-8t=1 \;\Longrightarrow\; 25+6t=1 \;\Longrightarrow\; t=-4.
Então o ponto de interseção é
(x,y,z)=(5-4,\;1+4(-4),\;3-2(-4))=(1,-15,11).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=(5,1,3)+t\,(1,4,-2).
(b) Dois exemplos: (6,5,1) (para t=1) e (4,-3,5) (para t=-1).
(c) Interseções com planos coordenados: \bigl(\tfrac{13}2,7,0\bigr),\,(0,-19,13),\,\bigl(\tfrac{19}4,0,\tfrac72\bigr).
(d) Interseção com 2x+3y+4z=1: (1,-15,11).

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