Seja r a reta que passa pelo ponto P=(5,1,3) e é paralela ao vetor \vec{v}=(1,4,-2).
(a) Determine uma equação vetorial de r esboce a reta.
(b) Determine outros dois pontos desta reta.
(c) Determine, caso haja, a interseção de r com os planos coordenados.
(d) Determine, caso haja, a interseção de r com o plano de equação 2 x+3 y+4 z=1.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com uma reta em \mathbb{R}^3: ela passa por P=(5,1,3) e é paralela ao vetor \vec v=(1,4,-2). O conteúdo é “equação paramétrica de reta”, “detalhamento de pontos” e “interseção de reta com planos”. Vamos usar a forma vetorial/paramétrica da reta e depois resolver interseções substituindo o parâmetro.
Passo 2
Para obter a equação vetorial de r\), lembramos que toda reta em \(\mathbb{R}^3\) pode ser escrita como
\[\mathbf{r}(t)=\mathbf{P}+t\,\vec v.
Para esboçar, marcamos o ponto P\] e traçamos uma seta na direção de \(\vec v; a reta passa por P e segue indefinidamente nesse sentido e no contrário.
Passo 3
Para achar dois outros pontos de r, basta escolher valores distintos de t:
Se t=1,
(x,y,z)=(5+1,\;1+4,\;3-2)=(6,5,1).
Se t=-1,
(x,y,z)=(5-1,\;1-4,\;3+2)=(4,-3,5).
Passo 4
Interseção com planos coordenados:
Plano xy z=0: 3-2t=0\implies t=\tfrac32.
Então x=5+\tfrac32=\tfrac{13}2, y=1+4\cdot\tfrac32=7.
Ponto \bigl(\tfrac{13}2,7,0\bigr).
Plano yz x=0: 5+t=0\implies t=-5.
Então y=1+4(-5)=-19, z=3-2(-5)=13.
Ponto (0,-19,13).
Plano xz y=0: 1+4t=0\implies t=-\tfrac14.
Então x=5-\tfrac14=\tfrac{19}4, z=3-2(-\tfrac14)=\tfrac72.
Ponto \bigl(\tfrac{19}4,0,\tfrac72\bigr).
Passo 5
Interseção com o plano 2x+3y+4z=1. Substituindo x=5+t, y=1+4t, z=3-2t: