O enunciado pede o plano que contém o ponto (0,0,0)\) e a reta dada pelo sistema abaixo:
\[\begin{cases} 2x+5 = y+z,\\\ y-3 = x-z.
Estamos em geometria analítica no espaço, e para achar esse plano vamos precisar:
Colocar a reta em forma paramétrica para extrair um ponto e um vetor diretor.
Usar a origem ((0,0,0)] como segundo ponto no plano.
Calcular o vetor normal ao plano via produto vetorial.
Escrever a equação do plano.
Passo 2
Para achar a forma paramétrica, igualamos as duas expressões para y\):
de \(2x+5-z\) e de \(x-z+3\), o que dá
\[2x+5 - z \;=\; x - z + 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.
Tomando z=t, temos
\begin{cases} x = -2,\\\ y = 1 - t,\\\ z = t. \end{cases}
Um ponto na reta é, por exemplo, P = (-2,1,0)\] (quando \(t=0), e um vetor diretor é \displaystyle \vec v = (0,-1,1).
Passo 3
No plano está também a origem O=(0,0,0). Dois vetores que ficam no plano são \displaystyle \overrightarrow{OP} = (-2,1,0)
e, escolhendo t=1, Q = (-2,0,1) dá \displaystyle \overrightarrow{OQ} = (-2,0,1).
O vetor normal ao plano vem do produto vetorial: