Encontre o plano que contém o ponto (0,0,0) e a reta dada por
\left\{\begin{array}{c} 2 x+5=y+z \\\ y-3=x-z \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém o ponto (0,0,0)\) e a reta dada pelo sistema abaixo: \[\begin{cases} 2x+5 = y+z,\\\ y-3 = x-z.
Estamos em geometria analítica no espaço, e para achar esse plano vamos precisar:
  1. Colocar a reta em forma paramétrica para extrair um ponto e um vetor diretor.
  2. Usar a origem ((0,0,0)] como segundo ponto no plano.
  3. Calcular o vetor normal ao plano via produto vetorial.
  4. Escrever a equação do plano.

Passo 2

Para achar a forma paramétrica, igualamos as duas expressões para y\): de \(2x+5-z\) e de \(x-z+3\), o que dá \[2x+5 - z \;=\; x - z + 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.
Tomando z=t, temos
\begin{cases} x = -2,\\\ y = 1 - t,\\\ z = t. \end{cases}
Um ponto na reta é, por exemplo, P = (-2,1,0)\] (quando \(t=0), e um vetor diretor é \displaystyle \vec v = (0,-1,1).

Passo 3

No plano está também a origem O=(0,0,0). Dois vetores que ficam no plano são \displaystyle \overrightarrow{OP} = (-2,1,0)
e, escolhendo t=1, Q = (-2,0,1) \displaystyle \overrightarrow{OQ} = (-2,0,1).
O vetor normal ao plano vem do produto vetorial:
\vec n = \overrightarrow{OP}\times\overrightarrow{OQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,2,2).

Passo 4

A equação de um plano com normal \vec n=(1,2,2) passando pela origem é
1\,x + 2\,y + 2\,z = 0.

Resposta

x + 2y + 2z = 0.

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