Considere os pontos P1 e P2 sobre a reta, com coordenadas x1 e x2, respectivamente. Suponha que P2 está à direita de P1, ou seja, x2>x1. Lembrando que se o ponto C estiver no segmento A B, vale a propriedade d(A B)=d(A C)+d(C B), mostre que a expressão d(P1, P2)=|x2-x1| é válida nos três casos a seguir:
P1 está entre O e P2(0<x1<x2)

Passo 1

O enunciado dá dois pontos na reta real, P1 e P2, com coordenadas x1 e x2 e supõe x2>x1. Queremos mostrar que, quando P1 está entre a origem O e P2 (isto é, 0<x1<x2), vale
d(P1,P2)=l|x2-x1r|,
Para isso, vamos usar a definição de distância na reta e a propriedade de ponto em segmento: se C está entre A e B, então
d(A,B)=d(A,C)+d(C,B),

Passo 2

Como x1>0 e x2>0, a distância do ponto à origem é simplesmente a sua coordenada positiva. Logo,
d(O,P1)=x1, d(O,P2)=x2

Passo 3

Como P1 está no segmento O P2, aplicamos
d(O,P2)=d(O,P1)+d(P1,P2)
Substituindo d(O,P1) e d(O,P2) temos
x2=x1+d(P1,P2)Longrightarrow d(P1,P2)=x2-x1

Resposta

d(P1,P2)=x2-x1=l|x2-x1r|,

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