Considere os pontos P1 e P2 sobre a reta, com coordenadas x1 e x2, respectivamente. Suponha que P2 está à direita de P1, ou seja, x2>x1. Lembrando que se o ponto C estiver no segmento A B, vale a propriedade d(A B)=d(A C)+d(C B), mostre que a expressão d(P1, P2)=|x2-x1| é válida nos três casos a seguir:
O está entre P1 e P2(x1<0<x2)

Passo 1

O enunciado dá dois pontos P1 e P2 na reta real, com coordenadas x1 e x2, respectivamente, e supõe x1<0<x2 (ou seja, a origem O está entre P1 e P2). Queremos mostrar que
d(P1,P2) = l|x2-x1r|
usando a propriedade de que, se um ponto C estiver no segmento AB, então
d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)

Passo 2

Aplicamos a propriedade com A=P1, B=P2 e C=O. Assim
d(P1,P2) ;=; d(P1,O);+;d(O,P2)

Passo 3

Como x1<0, a distância de P1 à origem é
d(P1,O)=l|x1-0r|=l|x1r|=-,x1
E como x2>0, a distância da origem a P2 é
d(O,P2)=l|0-x2r|=l|x2r|=x2

Passo 4

Somando as duas distâncias, obtemos
d(P1,P2) = (-,x1) + x2 = x2-x1
Como estamos no caso em que x2-x1>0, segue
x2-x1 = l|x2-x1r|

Resposta

Nessas condições ( x1<0<x2) vale
d(P1,P2) = l|x2-x1r|

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