Se e w=A D, é possível encontrar escalares alpha, beta e gamma, não todos nulos, tais que x u+y v+z w=0 ? Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado dá os pontos
A(2,0,0), B(1,1,1), C(0,1,1), D(5,2,2)
e define vec u=AB, vec v=AC, vec w=AD.
Queremos saber se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alphavec u+betavec v+gammavec w=0
Isto é exatamente verificar se vec u,vec v,vec w são linearmente dependentes em R^3. Para isso vamos calcular as coordenadas desses vetores e montar o sistema para alpha,beta,gamma.
Passo 2
Calculemos as três setas a partir de A:
vec u = AB = (1-2,;1-0,;1-0)=(-1,1,1),
vec v = AC = (0-2,;1-0,;1-0)=(-2,1,1),
vec w = AD = (5-2,;2-0,;2-0)=(3,2,2)
Passo 3
A condição alphavec u+betavec v+gammavec w=0 gera o sistema em coordenadas:
Observamos que as segunda e terceira equações são idênticas, ou seja, temos apenas duas equações independentes para três incógnitas. Isso já indica existência de solução não-trivial.
Passo 4
Escolhendo, por exemplo,
Somando as duas equações:
Substituindo em .
Resposta
Sim. Por exemplo, tomando (alpha,beta,gamma)=(-7,5,1) temos