Considere os pontos
A(2,0,0), B(1,1,1), C(0,1,1) e D(5,2,2)
Se u=A B, v=A C e w=A D, é possível encontrar escalares alpha, beta e gamma, não todos nulos, tais que x u+y v+z w=0 ? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(2,0,0), B(1,1,1), C(0,1,1), D(5,2,2)
e define
vec u=AB, vec v=AC, vec w=AD.
Queremos saber se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alphavec u+betavec v+gammavec w=0
Isto é exatamente verificar se vec u,vec v,vec w são linearmente dependentes em R^3. Para isso vamos calcular as coordenadas desses vetores e montar o sistema para alpha,beta,gamma.

Passo 2

Calculemos as três setas a partir de A:
vec u = AB = (1-2,;1-0,;1-0)=(-1,1,1),
vec v = AC = (0-2,;1-0,;1-0)=(-2,1,1),
vec w = AD = (5-2,;2-0,;2-0)=(3,2,2)

Passo 3

A condição alphavec u+betavec v+gammavec w=0 gera o sistema em coordenadas:
-1alpha ;+;-2beta ;+;3gamma =0, -1alpha ;+;1beta ;+;2gamma =0, -1alpha ;+;1beta ;+;2gamma =0
Observamos que as segunda e terceira equações são idênticas, ou seja, temos apenas duas equações independentes para três incógnitas. Isso já indica existência de solução não-trivial.

Passo 4

Escolhendo, por exemplo,
Somando as duas equações:
Substituindo em .

Resposta

Sim. Por exemplo, tomando (alpha,beta,gamma)=(-7,5,1) temos
-7,vec u +5,vec v +1,vec w = 0

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