Considere os vetores v1=(-1,2,3), v2=(2,-1,1), v3=(4,1,9).
Determine condições sobre a, b e c de modo que v=(a, b, c) seja combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores vec v1=(-1,2,3), vec v2=(2,-1,1) e vec v3=(4,1,9) em R^3. Queremos achar condições sobre (a,b,c) para que vec v=(a,b,c) seja combinação linear de vec v1,vec v2,vec v3. O conteúdo envolvido é span (espaço gerado) e dependência linear.

Passo 2

Verificamos a dependência linear de vec v1,vec v2,vec v3 solucionando
alphavec v1+betavec v2+gammavec v3=vec0
Das equações
-alpha+2beta+4gamma=0, 2alpha-beta+gamma=0, 3alpha+beta+9gamma=0
vem alpha=-2gamma, beta=-3gamma, gammaneq0, o que leva a
vec v3=2vec v1+3vec v2

Passo 3

Como vec v3 é combinação de vec v1 e vec v2, o espaço gerado pelos três vetores é o mesmo plano spanvec v1,vec v2. Logo vec v pertence a esse span se, e somente se, existirem escalares x,y tais que
vec v = x,vec v1 + y,vec v2 = (-x+2y,;2x-y,;3x+y)

Passo 4

Igualando componentes, obtemos o sistema
a = -x + 2y, b = 2x - y, c = 3x + y
Das duas primeiras equações tiramos x e y: de -x+2y=a segue x=2y-a; substituindo em 2x-y=b achamos
3y = b + 2a Longrightarrow y = b+2a3, x = a+2b3

Passo 5

Substituindo em c=3x+y
c = 3a+2b3 ;+;b+2a3 = 5a+7b3,
ou seja
5a + 7b - 3c = 0

Resposta

A condição necessária e suficiente para que ,(a,b,c) seja combinação linear de vec v1,vec v2,vec v3 é
5a + 7b - 3c = 0

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