Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
( ) W=(a, b, c, d) / a+c >= 0, a, b, c, d in R é um subespaço vetorial de R^4.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = (a,b,c,d)in R^4 mid a + c >= 0
e pergunta se W é subespaço vetorial de R^4. Para isso, precisamos verificar se W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Fechamento sob adição: sejam
u = (a1,b1,c1,d1)in W, v = (a2,b2,c2,d2)in W
Como a1+c1>=0 e a2+c2>=0, temos
(u+v)1 + (u+v)3 = (a1+a2) + (c1+c2) = (a1+c1)+(a2+c2)>=0,
ou seja, u+vin W. Logo, W é fechado sob adição.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar: tome o vetor
v = (1,0,0,0)in W
pois 1+0=1>=0. Multiplicando por -1 obtemos
-1cdot v = (-1,0,0,0),
e aí (-1)+0 = -1<0, logo -vnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Falsa. W não é subespaço de R^4 pois falha o fechamento sob multiplicação por escalar (exemplo: (1,0,0,0)in W mas -1cdot(1,0,0,0)notin W).

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