Considere os pontos A=(-\sqrt{3}, 3), B=(-\sqrt{3},-1) e C=(\sqrt{3}, 1).
a) Determine o ângulo entre os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano e pede o ângulo entre dois vetores. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido.
Dados: A = (-\sqrt{3},\,3), B = (-\sqrt{3},\,-1) e C = (\sqrt{3},\,1).
Pergunta: determinar o ângulo entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as coordenadas dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir das coordenadas dos pontos.
Regra: se P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q), então \overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Aplicando para \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} = B - A = \big(-\sqrt{3}-(-\sqrt{3}),\;-1-3\big) = (0,\,-4).
Aplicando para \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC} = C - A = \big(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}),\;1-3\big) = (2\sqrt{3},\,-2).

Passo 3

Agora vamos lembrar uma fórmula chave para ângulo entre vetores em \mathbb{R}^2.
Produto escalar: para \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y.
Relação com o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2} é o comprimento (norma) de \mathbf{u}.
Ou seja, conhecendo produto escalar e normas, obtemos
\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.

Passo 4

Calcular o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} usando a definição:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (0)\cdot(2\sqrt{3}) + (-4)\cdot(-2) = 0 + 8 = 8.

Passo 5

Calcular as normas \|\overrightarrow{AB}\| e \|\overrightarrow{AC}\|.
Para \overrightarrow{AB}=(0,-4):
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4.
Para \overrightarrow{AC}=(2\sqrt{3},-2):
\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4\cdot 3 + 4} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4.

Passo 6

Usando a fórmula do passo 3, calculamos \cos\theta:
\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|} = \dfrac{8}{4\cdot 4} = \dfrac{1}{2}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{2}\big).
(Observação útil para prova: \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}, logo \operatorname{arccos}(\tfrac{1}{2}) = 60^\circ que é \pi/3 em radianos.)

Resposta

\theta = 60^\circ = \dfrac{\pi}{3}

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