Considere os pontos A=(-\sqrt{3}, 3), B=(-\sqrt{3},-1) e C=(\sqrt{3}, 1).
a) Determine o ângulo entre os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede o ângulo entre dois vetores. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido.
Dados: A = (-\sqrt{3},\,3), B = (-\sqrt{3},\,-1) e C = (\sqrt{3},\,1).
Pergunta: determinar o ângulo entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as coordenadas dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir das coordenadas dos pontos.
Regra: se P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q), então \overrightarrow{PQ} = (x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Aplicando para \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} = B - A = \big(-\sqrt{3}-(-\sqrt{3}),\;-1-3\big) = (0,\,-4).
Aplicando para \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC} = C - A = \big(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}),\;1-3\big) = (2\sqrt{3},\,-2).
Passo 3
Agora vamos lembrar uma fórmula chave para ângulo entre vetores em \mathbb{R}^2.
Produto escalar: para \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y.
Relação com o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v}: