Usando o que estudamos sobre determinantes, diga quando um sistema triangular possui solução.
Passo 1
O enunciado pede: “Usando o que estudamos sobre determinantes, diga quando um sistema triangular possui solução.”\n
Informações dadas (assumidas pois a pergunta é genérica):
Informações dadas (assumidas pois a pergunta é genérica):
- Temos um sistema linear escrito como
, onde é uma matriz triangular (pode ser triangular superior ou triangular inferior). - Queremos saber as condições, em termos de determinantes/elementos da diagonal, que garantem que o sistema possui solução (única, nenhuma ou infinitas).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: o determinante de uma matriz triangular.\n
Teoria e demonstração curta (didática): para uma matriz triangular (superior ou inferior), todas as entradas abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. Isso facilita o cálculo do determinante. Por indução em ou por expansão por uma linha/coluna que contém muitos zeros, mostra-se que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.\n
Em fórmula:
Teoria e demonstração curta (didática): para uma matriz triangular (superior ou inferior), todas as entradas abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. Isso facilita o cálculo do determinante. Por indução em
Em fórmula:
onde
é o elemento da diagonal principal na linha
.\n
Explicando passo a passo a ideia: para uma matriz triangular superior, a última linha tem zeros exceto possivelmente o último elemento ; expandindo o determinante por cofatores pela última linha, só sobra
vezes o determinante da submatriz
que também é triangular, e assim por diante — isso gera o produto dos
.
Explicando passo a passo a ideia: para uma matriz triangular superior, a última linha tem zeros exceto possivelmente o último elemento
Passo 3
Relação entre determinante, invertibilidade e existência de solução:\n
- Para um sistema
, se for invertível então existe solução única para todo , dada por .\n - Uma matriz
é invertível se e somente se .\n
Juntando: seentão o sistema tem solução única (para qualquer vetor ).
Passo 4
Aplicando isso ao caso triangular:\n
Como para matriz triangular, temos que
exatamente quando nenhum elemento da diagonal principal é zero, isto é, quando
Como
Portanto, um sistema triangular tem solução única exatamente quando todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
Passo 5
Intuição prática via substituição (como se faz na prova):\n
- Para matriz triangular superior usa-se retro-substituição (back substitution): resolve-se primeiro a última variável dividindo pela última diagonal
, depois sobe-se linha a linha.\n - Para matriz triangular inferior usa-se substituição direta (forward substitution): resolve-se primeiro a primeira variável dividindo por
, e assim por diante.\n
Em ambos os casos, cada passo exige dividir pelo respectivo. Se algum , não dá para dividir naquela etapa — daí surgem duas possibilidades que devem ser verificadas comparando com o vetor : - Se na linha correspondente, depois de substituir as variáveis já conhecidas, obtém-se uma igualdade do tipo
com , então o sistema é inconsistente e não tem solução. - Se nessa linha obtém-se
, então a equação não fixa a variável correspondente: essa variável é livre e o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade aumentado).
Passo 6
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Exemplo com solução única (triangular superior
):
Aqui
. Retro-substituição:
Solução única
.
- Exemplo sem solução:
Aqui
. A segunda equação reduz a
, i.e.
, impossível → sem solução.
- Exemplo com infinitas soluções:
Ainda
. A segunda equação reduz a
, logo
é livre; escrevendo
e
obtém-se infinitas soluções parametricamente.]
Passo 7
Resumo operacional para a prova (passo a passo que você pode repetir em qualquer exercício):
- Identifique que
é triangular.\n - Calcule
(basta olhar a diagonal).\n - Se
então existe solução única e você pode resolver por retro/forward substitution dividindo pelos em cada passo.\n - Se
então há pelo menos um ; verifique a linha correspondente após substituir as variáveis já determinadas: se resultar em com → sem solução; se resultar em → variável livre → infinitas soluções.
Resposta
Um sistema triangular
tem solução única se, e somente se,
, isto é, se todos os elementos da diagonal principal forem não nulos (
).\n
Se algum elemento da diagonal for zero ( ) então: ou o sistema é inconsistente (sem solução) quando a linha correspondente reduz a
com
, ou tem infinitas soluções quando essa linha reduz a
(variável livre).
Se algum elemento da diagonal for zero (