Usando o que estudamos sobre determinantes, diga quando um sistema triangular possui solução.

Passo 1

O enunciado pede: “Usando o que estudamos sobre determinantes, diga quando um sistema triangular possui solução.”\n
Informações dadas (assumidas pois a pergunta é genérica):
  • Temos um sistema linear escrito como A x = b, onde A é uma matriz triangular (pode ser triangular superior ou triangular inferior).
  • Queremos saber as condições, em termos de determinantes/elementos da diagonal, que garantem que o sistema possui solução (única, nenhuma ou infinitas).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: o determinante de uma matriz triangular.\n
Teoria e demonstração curta (didática): para uma matriz triangular (superior ou inferior), todas as entradas abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. Isso facilita o cálculo do determinante. Por indução em n ou por expansão por uma linha/coluna que contém muitos zeros, mostra-se que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.\n
Em fórmula:
\det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii},
onde a_{ii} é o elemento da diagonal principal na linha i.\n
Explicando passo a passo a ideia: para uma matriz triangular superior, a última linha tem zeros exceto possivelmente o último elemento a_{nn}; expandindo o determinante por cofatores pela última linha, só sobra a_{nn} vezes o determinante da submatriz (n-1)\times(n-1) que também é triangular, e assim por diante — isso gera o produto dos a_{ii}.

Passo 3

Relação entre determinante, invertibilidade e existência de solução:\n
  • Para um sistema A x = b, se A for invertível então existe solução única para todo b, dada por x = A^{-1} b.\n
  • Uma matriz A é invertível se e somente se \det(A)\neq 0.\n
    Juntando: se \det(A)\neq 0 então o sistema tem solução única (para qualquer vetor b).

Passo 4

Aplicando isso ao caso triangular:\n
Como \det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii} para matriz triangular, temos que \det(A)\neq 0 exatamente quando nenhum elemento da diagonal principal é zero, isto é, quando
a_{11}\neq 0,\; a_{22}\neq 0,\; \dots,\; a_{nn}\neq 0.
Portanto, um sistema triangular tem solução única exatamente quando todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.

Passo 5

Intuição prática via substituição (como se faz na prova):\n
  • Para matriz triangular superior usa-se retro-substituição (back substitution): resolve-se primeiro a última variável dividindo pela última diagonal a_{nn}, depois sobe-se linha a linha.\n
  • Para matriz triangular inferior usa-se substituição direta (forward substitution): resolve-se primeiro a primeira variável dividindo por a_{11}, e assim por diante.\n
    Em ambos os casos, cada passo exige dividir pelo respectivo a_{ii}. Se algum a_{kk}=0, não dá para dividir naquela etapa — daí surgem duas possibilidades que devem ser verificadas comparando com o vetor b:
  • Se na linha correspondente, depois de substituir as variáveis já conhecidas, obtém-se uma igualdade do tipo 0 = c com c\neq 0, então o sistema é inconsistente e não tem solução.
  • Se nessa linha obtém-se 0 = 0, então a equação não fixa a variável correspondente: essa variável é livre e o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade aumentado).

Passo 6

Exemplos concretos (para fixar a ideia):
  1. Exemplo com solução única (triangular superior 2\times2):
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=2\cdot 3=6\neq 0. Retro-substituição:
x_2=\frac{6}{3}=2,\qquad x_1=\frac{5-1\cdot x_2}{2}=\frac{5-2}{2}=1.
Solução única x=(1,2)^T.
  1. Exemplo sem solução:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=1\cdot 0=0. A segunda equação reduz a 0\cdot x_1+0\cdot x_2=1, i.e. 0=1, impossível → sem solução.
  1. Exemplo com infinitas soluções:
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Ainda \det(A)=0. A segunda equação reduz a 0=0, logo x_2 é livre; escrevendo x_2=t e x_1=\frac{3-2t}{1}=3-2t obtém-se infinitas soluções parametricamente.]

Passo 7

Resumo operacional para a prova (passo a passo que você pode repetir em qualquer exercício):
  • Identifique que A é triangular.\n
  • Calcule \det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii} (basta olhar a diagonal).\n
  • Se \prod_{i=1}^{n} a_{ii}\neq 0 então existe solução única e você pode resolver por retro/forward substitution dividindo pelos a_{ii} em cada passo.\n
  • Se \prod_{i=1}^{n} a_{ii}=0 então há pelo menos um a_{kk}=0; verifique a linha correspondente após substituir as variáveis já determinadas: se resultar em 0=c com c\neq 0 → sem solução; se resultar em 0=0 → variável livre → infinitas soluções.

Resposta

Um sistema triangular A x=b tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0, isto é, se todos os elementos da diagonal principal forem não nulos ( \prod_{i=1}^{n} a_{ii}\neq 0).\n
Se algum elemento da diagonal for zero ( \prod_{i=1}^{n} a_{ii}=0) então: ou o sistema é inconsistente (sem solução) quando a linha correspondente reduz a 0=c com c\neq 0, ou tem infinitas soluções quando essa linha reduz a 0=0 (variável livre).

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