Resolva o sistema abaixo usando a Regra de Cramer
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3 z=-15 \\ 2 x-y+z=10 \\ 3 x-z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de x\), \(y\) e \(z\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} x + 2y - 3z = -15,\\[4pt] 2x - y + z = 10,\\[4pt] 3x \;-\; z = 1. \end{cases}
Informações relevantes que temos (coeficientes e termos independentes):
\text{Matriz dos coeficientes }A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad \text{vetor dos termos } \mathbf{b}= \begin{pmatrix} -15\\[4pt] 10\\[4pt] 1 \end{pmatrix}.
A tarefa explícita: usar a Regra de Cramer para obter x\], \(y e z.]

Passo 2

Explico a Regra de Cramer de forma direta e simples: para um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A 3\times3 e \det(A)\neq 0, as soluções são
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D},
onde D=\det(A) e D_x,D_y,D_z são determinantes obtidos substituindo, respectivamente, a coluna de x, a coluna de y e a coluna de z por \mathbf{b}. Vou calcular D,D_x,D_y,D_z e então dividir. Antes, preciso explicar como calcular determinante de 3\times3 de um jeito prático (Regra de Sarrus).
Regra de Sarrus (para 3\times3): ) dada
M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
\det(M)= (a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})- (a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo em cada determinante.]

Passo 3

Calcular D=\det(A) para
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Usando a Regra de Sarrus:
Produtos do primeiro parêntese (positivos):
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1,
a_{12}a_{23}a_{31}=2\cdot1\cdot3=6,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-3)\cdot2\cdot0=0.
Soma dos positivos: 1+6+0=7.
Produtos do segundo parêntese (negativos):
a_{13}a_{22}a_{31}=(-3)\cdot(-1)\cdot3=9,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot1\cdot0=0,
a_{12}a_{21}a_{33}=2\cdot2\cdot(-1)=-4.
Soma dos negativos: 9+0+(-4)=5.
Logo
D=7-5=2.
Observação importante: D\neq 0, então a Regra de Cramer é válida e o sistema tem solução única.]

Passo 4

Calcular D_x: substituir a coluna de x (primeira coluna) por \mathbf{b}. A matriz fica
A_x=\begin{pmatrix} -15 & 2 & -3\\[4pt] 10 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
Produtos positivos:
a_{11}a_{22}a_{33}=(-15)\cdot(-1)\cdot(-1)=-15,
a_{12}a_{23}a_{31}=2\cdot1\cdot1=2,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-3)\cdot10\cdot0=0.
Soma dos positivos: -15+2+0=-13.
Produtos negativos:
a_{13}a_{22}a_{31}=(-3)\cdot(-1)\cdot1=3,
a_{11}a_{23}a_{32}=(-15)\cdot1\cdot0=0,
a_{12}a_{21}a_{33}=2\cdot10\cdot(-1)=-20.
Soma dos negativos: 3+0+(-20)=-17.
Logo
D_x=(-13)-(-17)=4.]

Passo 5

Calcular D_y: substituir a coluna de y (segunda coluna) por \mathbf{b}. A matriz fica
A_y=\begin{pmatrix} 1 & -15 & -3\\[4pt] 2 & 10 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
Produtos positivos:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot10\cdot(-1)=-10,
a_{12}a_{23}a_{31}=(-15)\cdot1\cdot3=-45,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-3)\cdot2\cdot1=-6.
Soma dos positivos: -10-45-6=-61.
Produtos negativos:
a_{13}a_{22}a_{31}=(-3)\cdot10\cdot3=-90,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot1\cdot1=1,
a_{12}a_{21}a_{33}=(-15)\cdot2\cdot(-1)=30.
Soma dos negativos: -90+1+30=-59.
Logo
D_y=(-61)-(-59)=-2.]

Passo 6

Calcular D_z: substituir a coluna de z (terceira coluna) por \mathbf{b}. A matriz fica
A_z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -15\\[4pt] 2 & -1 & 10\\[4pt] 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
Produtos positivos:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot(-1)\cdot1=-1,
a_{12}a_{23}a_{31}=2\cdot10\cdot3=60,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-15)\cdot2\cdot0=0.
Soma dos positivos: -1+60+0=59.
Produtos negativos:
a_{13}a_{22}a_{31}=(-15)\cdot(-1)\cdot3=45,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot10\cdot0=0,
a_{12}a_{21}a_{33}=2\cdot2\cdot1=4.
Soma dos negativos: 45+0+4=49.
Logo
D_z=59-49=10.]

Passo 7

Aplicar a Regra de Cramer para obter as incógnitas:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{4}{2}=2,
y=\frac{D_y}{D}=\frac{-2}{2}=-1,
z=\frac{D_z}{D}=\frac{10}{2}=5.

Passo 8

Verificação rápida (substituir na primeira equação para confirmar): calcular
x+2y-3z=2+2\cdot(-1)-3\cdot5=2-2-15=-15,
coincide com o termo independente da primeira equação. As outras duas equações também conferem (checagem direta possível), então a solução está correta.

Resposta

x=2\
y=-1\
z=5

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