Seja M=(3,4) o ponto médio do segmento A B, sendo que A \in O Y e B \in O X, e considere que G=(-1,1) é o baricentro do triângulo A B C.
a) Encontre as coordenadas dos pontos A e $B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Ponto médio do segmento AB é M=(3,4).
  • O ponto A pertence ao eixo OY (ou seja, está sobre o eixo y); isso implica que a coordenada x de A é zero.
  • O ponto B pertence ao eixo OX (ou seja, está sobre o eixo x); isso implica que a coordenada y de B é zero.
  • O ponto G=(-1,1) é o baricentro (centroide) do triângulo ABC. (Essa informação existe no enunciado, mas a pergunta (a) pede apenas as coordenadas de A e B.)
  • O que se pede: encontrar as coordenadas dos pontos A e B.

Passo 2

Vamos recordar a definição útil que vamos usar: a fórmula do ponto médio.
Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), o ponto médio M de AB tem coordenadas
M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
Explicando cada coisa: x_A e y_A são as coordenadas de A; x_B e y_B são as de B. A fórmula diz que a coordenada x do ponto médio é a média aritmética das abscissas de A e B, e a coordenada y do ponto médio é a média aritmética das ordenadas de A e B.
Como A está em OY, temos x_A=0. Como B está em OX, temos y_B=0. Vamos usar isso direto.

Passo 3

Escrevendo A e B com essas incógnitas:
A=(0,y_A),\qquad B=(x_B,0).
Aplicando a fórmula do ponto médio e igualando a M=(3,4), obtemos duas equações (uma para cada coordenada):
\dfrac{0 + x_B}{2} = 3
e
\dfrac{y_A + 0}{2} = 4.

Passo 4

Agora resolvemos cada equação simplesmente:
Da primeira equação,
\dfrac{x_B}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad x_B = 2\cdot 3 = 6.
Da segunda equação,
\dfrac{y_A}{2}=4 \quad\Rightarrow\quad y_A = 2\cdot 4 = 8.
Portanto, pelas contas acima, A=(0,8) e B=(6,0). (Observação: a informação do baricentro G não foi necessária para encontrar A e B. Se quisermos usar G para achar C, lembramos que o baricentro satisfaz \;G=\bigl(\tfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\tfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\bigr); com A e B encontrados dá para determinar C como exercício extra, mas a parte (a) pedia só A e B.)

Resposta

A=(0,8)
B=(6,0)

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