Considere a população de 41 números inteiros de 0 a 40 . Qual é a média desses números? Selecione três amostras aleatórias de sete números dessa lista. Encontre a média de cada amostra. Compare seus resultados com a média da população inteira. Comente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver nada ainda).
A população consiste dos 41 números inteiros de 0 a 40.
Perguntas:
Qual é a média da população inteira?
Selecionar três amostras aleatórias de 7 números dessa lista (amostragem sem reposição, ou seja, cada número da amostra é distinto) e calcular a média de cada amostra.
Comparar as médias amostrais com a média da população e comentar.
Dados relevantes que vamos usar:
Tamanho da população: N=41.
Elementos da população: 0,1,2,\dots,40.
Tamanho de cada amostra: n=7.
Passo 2
Calcular a média da população passo a passo. Primeiro lembrar a definição de média (média aritmética) de uma lista de N números: a média \mu é
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
No nosso caso os x_i são os inteiros de 0 a 40. Para somar uma progressão aritmética existe a fórmula do somatório:
\sum_{k=0}^{40} k = (\text{nº de termos})\cdot\frac{\text{primeiro}+\text{último}}{2}.
Aqui o número de termos é 41, o primeiro é 0 e o último é 40. Então
\sum_{k=0}^{40} k = 41\cdot\frac{0+40}{2}=41\cdot20=820.
Agora a média da população é a soma dividida por N:
\mu=\frac{820}{41}=20.
Interpretação rápida: por simetria os inteiros de 0 a 40 estão centrados em 20, então a média é 20.
Passo 3
Explicar como calcular a média de uma amostra e qual a ideia estatística rápida por trás. A média amostral \overline{x} de uma amostra de tamanho n é
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Propriedade importante (útil na prova): a média amostral é um estimador não viesado da média populacional, ou seja, se as amostras forem escolhidas aleatoriamente, o valor esperado de \overline{x} é \mu. Porém, amostras pequenas têm variabilidade: valores de \overline{x} podem afastar-se de \mu por alguns desvios, especialmente quando n é pequeno. Vou calcular três amostras (escolhidas aqui de forma aleatória simples sem reposição) e mostrar as médias, para ver na prática essa variabilidade.
Passo 4
Escolhi três amostras aleatórias de 7 números cada (sem reposição dentro da amostra). As amostras e os cálculos das médias:
Agora comparar as médias amostrais com a média populacional e interpretar a variabilidade.
Média populacional: \mu=20.
Médias amostrais encontradas:
\overline{x}_1=\dfrac{139}{7}\approx 19{,}857 (muito próxima de 20).
\overline{x}_2=\dfrac{32}{7}\approx 4{,}571 (bastante menor que 20).
\overline{x}_3=\dfrac{251}{7}\approx 35{,}857 (bastante maior que 20).
Para entender se essas flutuações são esperadas, vamos calcular a variabilidade típica (desvio padrão da média amostral). Primeiro obtenha a variância da população (passo a passo):
Soma dos quadrados dos inteiros de 0 a 40: fórmula conhecida
Interpretando: tipicamente uma média de amostra de tamanho 7 vai diferir da média populacional em cerca de 4{,}12 unidades (um desvio típico). Agora veja as diferenças observadas:
Diferença de \overline{x}_1 para \mu: 19{,}857-20=-0{,}143, que é \approx -0{,}035 vezes o \operatorname{SE} (muito pequeno).
Diferença de \overline{x}_2 para \mu: 4{,}571-20=-15{,}429, que é \approx -3{,}74 vezes o \operatorname{SE}.
Diferença de \overline{x}_3 para \mu: 35{,}857-20=15{,}857, que é \approx 3{,}85 vezes o \operatorname{SE}.
Conclusão interpretativa curta: a média amostral é um estimador sem viés (espera-se que, em média, valha 20), mas com n=7 o erro padrão é relativamente grande (\approx 4{,}12). Assim, é normal que algumas amostras fiquem um pouco afastadas da média populacional; amostras muito extremas (como as amostras 2 e 3, que estão a cerca de 3,7–3,9 desvios padrão) são menos prováveis, mas possíveis. Se quiser estimativas mais estáveis e próximas de 20 na prática, aumente n.
Resposta
Média da população: \;20.
Média da amostra 1: \;\dfrac{139}{7}\approx19{,}857142857.
Média da amostra 2: \;\dfrac{32}{7}\approx4{,}571428571.
Média da amostra 3: \;\dfrac{251}{7}\approx35{,}857142857.
Comentário final: as médias amostrais variam em torno de \mu=20; com n=7 o erro padrão é \sqrt{17}\approx4{,}123, portanto desvios da ordem de poucos unidades são comuns, e desvios grandes (como nas amostras 2 e 3) são menos prováveis mas possíveis.