1. Considere a população de 41 números inteiros de 0 a 40 . Qual é a média desses números? Selecione três amostras aleatórias de sete números dessa lista. Encontre a média de cada amostra. Compare seus resultados com a média da população inteira. Comente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver nada ainda).
  • A população consiste dos 41 números inteiros de 0 a 40.
  • Perguntas:
    1. Qual é a média da população inteira?
    2. Selecionar três amostras aleatórias de 7 números dessa lista (amostragem sem reposição, ou seja, cada número da amostra é distinto) e calcular a média de cada amostra.
    3. Comparar as médias amostrais com a média da população e comentar.
  • Dados relevantes que vamos usar:
    • Tamanho da população: N=41.
    • Elementos da população: 0,1,2,\dots,40.
    • Tamanho de cada amostra: n=7.

Passo 2

Calcular a média da população passo a passo. Primeiro lembrar a definição de média (média aritmética) de uma lista de N números: a média \mu é
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i.
No nosso caso os x_i são os inteiros de 0 a 40. Para somar uma progressão aritmética existe a fórmula do somatório:
\sum_{k=0}^{40} k = (\text{nº de termos})\cdot\frac{\text{primeiro}+\text{último}}{2}.ºú
Aqui o número de termos é 41, o primeiro é 0 e o último é 40. Então
\sum_{k=0}^{40} k = 41\cdot\frac{0+40}{2}=41\cdot20=820.
Agora a média da população é a soma dividida por N:
\mu=\frac{820}{41}=20.
Interpretação rápida: por simetria os inteiros de 0 a 40 estão centrados em 20, então a média é 20.

Passo 3

Explicar como calcular a média de uma amostra e qual a ideia estatística rápida por trás. A média amostral \overline{x} de uma amostra de tamanho n é
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Propriedade importante (útil na prova): a média amostral é um estimador não viesado da média populacional, ou seja, se as amostras forem escolhidas aleatoriamente, o valor esperado de \overline{x} é \mu. Porém, amostras pequenas têm variabilidade: valores de \overline{x} podem afastar-se de \mu por alguns desvios, especialmente quando n é pequeno. Vou calcular três amostras (escolhidas aqui de forma aleatória simples sem reposição) e mostrar as médias, para ver na prática essa variabilidade.

Passo 4

Escolhi três amostras aleatórias de 7 números cada (sem reposição dentro da amostra). As amostras e os cálculos das médias:
Amostra 1 (escolhida): \{2,\,5,\,11,\,20,\,27,\,34,\,40\}.
Somar elemento a elemento (mostrando como fazer passo a passo):
2+5=7,\quad 7+11=18,\quad 18+20=38,\quad 38+27=65,\quad 65+34=99,\quad 99+40=139.
Soma total da amostra: 139. Então a média amostral é
\overline{x}_1=\frac{139}{7}.
Podemos expressar como decimal aproximado:
\overline{x}_1=\frac{139}{7}\approx 19{,}857142857.

Passo 5

Amostra 2 (escolhida): \{0,\,1,\,3,\,4,\,6,\,8,\,10\}.
Somando:
0+1=1,\quad 1+3=4,\quad 4+4=8,\quad 8+6=14,\quad 14+8=22,\quad 22+10=32.
Soma total da amostra: 32. Média amostral:
\overline{x}_2=\frac{32}{7}\approx 4{,}571428571.

Passo 6

Amostra 3 (escolhida): \{32,\,33,\,35,\,36,\,37,\,38,\,40\}.
Somando:
32+33=65,\quad 65+35=100,\quad 100+36=136,\quad 136+37=173,\quad 173+38=211,\quad 211+40=251.
Soma total da amostra: 251. Média amostral:
\overline{x}_3=\frac{251}{7}\approx 35{,}857142857.

Passo 7

Agora comparar as médias amostrais com a média populacional e interpretar a variabilidade.
  • Média populacional: \mu=20.
  • Médias amostrais encontradas:
    • \overline{x}_1=\dfrac{139}{7}\approx 19{,}857 (muito próxima de 20).
    • \overline{x}_2=\dfrac{32}{7}\approx 4{,}571 (bastante menor que 20).
    • \overline{x}_3=\dfrac{251}{7}\approx 35{,}857 (bastante maior que 20).
Para entender se essas flutuações são esperadas, vamos calcular a variabilidade típica (desvio padrão da média amostral). Primeiro obtenha a variância da população (passo a passo):
  1. Soma dos quadrados dos inteiros de 0 a 40: fórmula conhecida
\sum_{k=0}^{40} k^2 = \frac{40\cdot41\cdot81}{6}=22140.
  1. Valor esperado de X^2 na população:
E[X^2]=\frac{22140}{41}=540.
  1. Variância populacional:
\sigma^2 = E[X^2]-\mu^2 = 540-20^2 = 540-400=140.
  1. Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{140}\approx 11{,}83215957.
Para amostragem sem reposição, a variância do estimador \overline{x} é
\operatorname{Var}(\overline{x})=\frac{\sigma^2}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}.
Substituindo N=41, n=7, \sigma^2=140:
\operatorname{Var}(\overline{x})=\frac{140}{7}\cdot\frac{41-7}{41-1}=20\cdot\frac{34}{40}=20\cdot0{,}85=17.
Desvio padrão da média amostral (erro padrão):
\operatorname{SE}(\overline{x})=\sqrt{17}\approx 4{,}123105626.
Interpretando: tipicamente uma média de amostra de tamanho 7 vai diferir da média populacional em cerca de 4{,}12 unidades (um desvio típico). Agora veja as diferenças observadas:
  • Diferença de \overline{x}_1 para \mu: 19{,}857-20=-0{,}143, que é \approx -0{,}035 vezes o \operatorname{SE} (muito pequeno).
  • Diferença de \overline{x}_2 para \mu: 4{,}571-20=-15{,}429, que é \approx -3{,}74 vezes o \operatorname{SE}.
  • Diferença de \overline{x}_3 para \mu: 35{,}857-20=15{,}857, que é \approx 3{,}85 vezes o \operatorname{SE}.
Conclusão interpretativa curta: a média amostral é um estimador sem viés (espera-se que, em média, valha 20), mas com n=7 o erro padrão é relativamente grande ( \approx 4{,}12). Assim, é normal que algumas amostras fiquem um pouco afastadas da média populacional; amostras muito extremas (como as amostras 2 e 3, que estão a cerca de 3,7 3,9 desvios padrão) são menos prováveis, mas possíveis. Se quiser estimativas mais estáveis e próximas de 20 na prática, aumente n.

Resposta

Média da população: \;20.
Média da amostra 1: \;\dfrac{139}{7}\approx19{,}857142857.
Média da amostra 2: \;\dfrac{32}{7}\approx4{,}571428571.
Média da amostra 3: \;\dfrac{251}{7}\approx35{,}857142857.
Comentário final: as médias amostrais variam em torno de \mu=20; com n=7 o erro padrão é \sqrt{17}\approx4{,}123, portanto desvios da ordem de poucos unidades são comuns, e desvios grandes (como nas amostras 2 e 3) são menos prováveis mas possíveis.

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