1. Use números aleatórios para simular a jogada de um dado de seis lados 60 vezes. Quantas vezes você obteve cada número de 1 a 6? Os resultados são os que você esperava?

Passo 1

O enunciado pede para simular a jogada de um dado de seis lados 60 vezes usando números aleatórios e, a partir dessa simulação, responder:
  • Quantas vezes cada face 1,2,3,4,5,6 apareceu?
  • Se os resultados são os que se esperava.
Informações fornecidas / que vamos usar:
  • Número de jogadas: n=60.
  • Cada face do dado tem probabilidade igual p=\tfrac{1}{6} (assumindo um dado justo).
  • Vamos gerar números aleatórios uniformes e transformar cada um numa face do dado.

Passo 2

Escolha do método (explicado passo a passo para poder repetir na prova):
  • Geração de números aleatórios: usar u_1,u_2,\dots,u_{60} independentes com distribuição uniforme no intervalo (0,1).
  • Regra de mapeamento para transformar cada u_i numa face do dado k\in\{1,2,3,4,5,6\}: definir
\text{face} = \lfloor 6u_i \rfloor + 1,
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira (piso) de x. Explicação: o intervalo (0,1) é dividido em seis subintervalos de comprimento \tfrac{1}{6}: \big(0,\tfrac{1}{6}\big],\big(\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{6}\big],\dots,\big(\tfrac{5}{6},1\big]. Cada subintervalo corresponde a uma face; se u_i cair no k-ésimo subintervalo sai a face k. Esse método produz cada face com probabilidade \tfrac{1}{6}.
Dica prática: em um computador/planilha use a função que gera números aleatórios uniformes e aplique a fórmula acima; em prova escrita, explique o procedimento como fiz aqui.

Passo 3

Simulação (resultado gerado por mim aplicando o método descrito; abaixo está a sequência das 60 jogadas — cada número é uma face do dado gerada aleatoriamente):
(2,5,1,6,4,2,3,2,4,1,\;6,2,4,5,2,3,1,2,4,5,\;1,4,2,6,3,2,4,5,1,6,\;3,2,1,4,5,6,2,4,5,2,\;6,3,4,2,5,1,4,2,6,5,\;2,1,3,4,5,6,2,1,2,3)

Passo 4

Contagem das ocorrências de cada face (procedimento): percorre-se a sequência e soma-se 1 sempre que aparece a face desejada. Fiz a contagem literal dessa sequência e obtive:
\begin{aligned} \text{contagem}(1) &= 9,\\\ \text{contagem}(2) &= 16,\\\ \text{contagem}(3) &= 7,\\\ \text{contagem}(4) &= 11,\\\ \text{contagem}(5) &= 9,\\\ \text{contagem}(6) &= 8. \end{aligned}
Verificação rápida: 9+16+7+11+9+8=60, que confere com o total de jogadas.

Passo 5

O que se esperava teoricamente (aula rapidinha):
  • Para um dado justo cada face tem probabilidade p=\tfrac{1}{6}.
  • Em n jogadas, a contagem de uma face particular tem distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p) com esperança (valor esperado):
\mathbb{E}[\text{contagem}]=np.
  • No nosso caso \mathbb{E}[\text{contagem}]=60\cdot\tfrac{1}{6}=10.
  • A variância é \mathrm{Var}(\text{contagem})=np(1-p). Aqui
\mathrm{Var}=60\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\Big(1-\tfrac{1}{6}\Big)=60\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{5}{6}=\frac{300}{36}=\frac{25}{3}\approx 8{,}333\ldots
  • Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}}\approx\sqrt{8{,}333\ldots}\approx 2{,}887.

Passo 6

Comparação dos resultados observados com o esperado (cálculo de quão grandes são as discrepâncias):
  • Para cada face calculo o z-score aproximado
z=\frac{\text{observado}-\text{esperado}}{\sigma}=\frac{\text{observado}-10}{2{,}887}.
Cálculos:
\begin{aligned} z_1&=\dfrac{9-10}{2{,}887}\approx -0{,}346,\\\ z_2&=\dfrac{16-10}{2{,}887}\approx 2{,}08,\\\ z_3&=\dfrac{7-10}{2{,}887}\approx -1{,}04,\\\ z_4&=\dfrac{11-10}{2{,}887}\approx 0{,}346,\\\ z_5&=\dfrac{9-10}{2{,}887}\approx -0{,}346,\\\ z_6&=\dfrac{8-10}{2{,}887}\approx -0{,}693. \end{aligned}
Interpretação: desvios de magnitude até cerca de 2 desvios-padrão não são raros em amostras aleatórias. O caso mais notável é a face 2 que apareceu 16 vezes ( z\approx 2{,}08), isto é, cerca de 2{,}1 desvios-padrão acima do esperado — um valor um pouco alto, mas ainda plausível por acaso.

Passo 7

Teste rápido de aderência (opcional, para ver se a discrepância global é significativa):
  • Estatística qui-quadrado
\chi^2=\sum_{k=1}^{6}\frac{(\text{observado}_k-\text{esperado})^2}{\text{esperado}}.
Com \text{esperado}=10 para cada k, obtemos
\chi^2=\frac{(-1)^2}{10}+\frac{6^2}{10}+\frac{(-3)^2}{10}+\frac{1^2}{10}+\frac{(-1)^2}{10}+\frac{(-2)^2}{10}=0{,}1+3{,}6+0{,}9+0{,}1+0{,}1+0{,}4=5{,}2.
  • Graus de liberdade: 6-1=5. Valor crítico para \alpha=0{,}05 é aproximadamente \chi^2_{0{,}95,5}\approx 11{,}07.
  • Como 5{,}2<11{,}07, não rejeitamos a hipótese de que o dado seja justo; globalmente a variação observada é compatível com flutuações aleatórias.

Passo 8

Conclusão interpretativa e incentivo:
  • As contagens obtidas foram \{9,16,7,11,9,8\} para as faces 1 a 6, respectivamente.
  • Comparadas com o valor esperado 10 por face, as diferenças são pequenas na maior parte; a face 2 apareceu mais do que a média, mas essa diferença ainda pode ocorrer por acaso numa única amostra de 60 jogadas.
  • Conclusão prática: os resultados são compatíveis com o que se esperaria de um dado justo; não há evidência forte, a partir desta amostra, de que o dado seja viciado. Força aí — em provas, explique o método, mostre as contagens e, se quiser impressionar, acrescente o teste qui-quadrado como fiz aqui.

Resposta

1:9,\;2:16,\;3:7,\;4:11,\;5:9,\;6:8.\nSim — os resultados são compatíveis com as flutuações aleatórias esperadas para um dado justo (valor esperado 10 por face; teste \chi^2=5{,}2 com 5 graus de liberdade, não significativo ao nível 5\%).

Exercícios relacionados