1. Considere a população de dez dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 . Selecione três amostras aleatórias de cinco dígitos de sua lista. Encontre a média de cada amostra. Compare seus resultados com a média da população inteira.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o seguinte:
  • Tenho a população de dez dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  • Selecionar três amostras aleatórias de tamanho 5 (cada amostra contém cinco dígitos, sem que eu pergunte nada a você).
  • Calcular a média de cada amostra.
  • Comparar essas médias com a média da população inteira.
Informações relevantes dadas:
  • Tamanho da população: N=10.
  • Elementos da população: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  • Tamanho de cada amostra: n=5.
  • Número de amostras a serem obtidas: 3.

Passo 2

Calcular a média da população inteira. Vou usar a fórmula da média (média populacional):
\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde \mu é a média populacional, N é o número total de elementos da população e x_i são os valores da população.
Aplicando aos dígitos 0 a 9:
\sum_{i=0}^{9} i = 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45.
Logo
\mu=\frac{45}{10}=\;4,5.

Passo 3

Explicar como calcular a média de uma amostra e o que esperar: a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} x_j,
onde \bar{x} é a média da amostra, n é o tamanho da amostra e x_j são os valores observados na amostra.
Uma propriedade importante (intuição): a média amostral \bar{x} é um estimador não tendencioso da média populacional \mu. Em linguagem simples: se fizéssemos todas as amostras possíveis de tamanho n e calculássemos a média de cada uma, a média dessas médias seria exatamente \mu. Isso significa que amostras individuais podem oscilar à volta de \mu, mas não tendem a sistematicamente ficar acima ou abaixo dela.

Passo 4

Escolhi aleatoriamente, sem reposição dentro de cada amostra, três amostras de 5 dígitos da população. As amostras selecionadas são:
  • Amostra 1: \{0,2,5,7,9\}.
  • Amostra 2: \{1,3,4,6,8\}.
  • Amostra 3: \{9,8,0,4,3\}.
(Obs.: cada amostra foi formada escolhendo cinco elementos distintos da lista 0 a 9; as amostras entre si podem repetir elementos porque são amostras separadas.)

Passo 5

Calcular a média da Amostra 1 passo a passo.
  • Soma dos elementos:
0+2+5+7+9 = 23.
  • Média amostral:
\bar{x}_1 = \frac{23}{5} = 4,6.

Passo 6

Calcular a média da Amostra 2 passo a passo.
  • Soma dos elementos:
1+3+4+6+8 = 22.
  • Média amostral:
\bar{x}_2 = \frac{22}{5} = 4,4.

Passo 7

Calcular a média da Amostra 3 passo a passo.
  • Soma dos elementos:
9+8+0+4+3 = 24.
  • Média amostral:
\bar{x}_3 = \frac{24}{5} = 4,8.

Passo 8

Comparação das médias amostrais com a média populacional \mu=4,5.
  • Diferenças:
\bar{x}_1-\mu = 4,6-4,5 = 0,1,
\bar{x}_2-\mu = 4,4-4,5 = -0,1,
\bar{x}_3-\mu = 4,8-4,5 = 0,3.
Comentário didático e intuição: as três médias amostrais estão próximas de \mu=4,5, mas não exatamente iguais — isso é esperado porque amostras finitas têm variabilidade. Para termos uma ideia do tamanho típico dessa variabilidade, podemos calcular o erro padrão da média para amostragem sem reposição:
  • Primeiro, a variância populacional dos dígitos 0 a 9 é conhecida (fórmula para uniforme discreto ou calculando diretamente):
\sigma^2 = 8,25 = \frac{33}{4},
portanto
\sigma=\sqrt{8,25}=\frac{\sqrt{33}}{2}\approx 2,8723.
  • O erro padrão da média amostral para amostragem sem reposição é
\mathrm{SE}(\bar{x})=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde N=10, n=5 e \sigma é o desvio padrão populacional.
  • Substituindo:
\mathrm{SE}(\bar{x})=\sqrt{\frac{10-5}{10-1}}\cdot\frac{\sqrt{8,25}}{\sqrt{5}} =\sqrt{\frac{5}{9}}\cdot\frac{\sqrt{33}/2}{\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{33}}{6}\approx 0,9574.
Interpretação: um valor típico de flutuação da média amostral é cerca de 0,96. As diferenças observadas ( 0,1, -0,1, 0,3) são menores do que esse tamanho típico, então estão perfeitamente razoáveis.
Um último comentário prático: se aumentarmos o número de amostras ou o tamanho n, as médias amostrais tenderiam a se concentrar ainda mais em volta de \mu=4,5.

Resposta

Média da amostra 1: \bar{x}_1=\dfrac{23}{5}=4,6
Média da amostra 2: \bar{x}_2=\dfrac{22}{5}=4,4
Média da amostra 3: \bar{x}_3=\dfrac{24}{5}=4,8
Média da população: \mu=\dfrac{45}{10}=4,5

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