- Considere a população de dez dígitos:
e 9 . Selecione três amostras aleatórias de cinco dígitos de sua lista. Encontre a média de cada amostra. Compare seus resultados com a média da população inteira.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça o seguinte:
- Tenho a população de dez dígitos
. - Selecionar três amostras aleatórias de tamanho
(cada amostra contém cinco dígitos, sem que eu pergunte nada a você). - Calcular a média de cada amostra.
- Comparar essas médias com a média da população inteira.
Informações relevantes dadas:
- Tamanho da população:
. - Elementos da população:
. - Tamanho de cada amostra:
. - Número de amostras a serem obtidas:
.
Passo 2
Calcular a média da população inteira. Vou usar a fórmula da média (média populacional):
onde
é a média populacional,
é o número total de elementos da população e
são os valores da população.
Aplicando aos dígitos
a
:
Logo
Passo 3
Explicar como calcular a média de uma amostra e o que esperar: a média amostral é
onde
é a média da amostra,
é o tamanho da amostra e
são os valores observados na amostra.
Uma propriedade importante (intuição): a média amostral
é um estimador não tendencioso da média populacional
. Em linguagem simples: se fizéssemos todas as amostras possíveis de tamanho
e calculássemos a média de cada uma, a média dessas médias seria exatamente
. Isso significa que amostras individuais podem oscilar à volta de
, mas não tendem a sistematicamente ficar acima ou abaixo dela.
Passo 4
Escolhi aleatoriamente, sem reposição dentro de cada amostra, três amostras de
dígitos da população. As amostras selecionadas são:
- Amostra 1:
. - Amostra 2:
. - Amostra 3:
.
(Obs.: cada amostra foi formada escolhendo cinco elementos distintos da lista
a
; as amostras entre si podem repetir elementos porque são amostras separadas.)
Passo 5
Calcular a média da Amostra 1 passo a passo.
- Soma dos elementos:
- Média amostral:
Passo 6
Calcular a média da Amostra 2 passo a passo.
- Soma dos elementos:
- Média amostral:
Passo 7
Calcular a média da Amostra 3 passo a passo.
- Soma dos elementos:
- Média amostral:
Passo 8
Comparação das médias amostrais com a média populacional
.
- Diferenças:
Comentário didático e intuição: as três médias amostrais estão próximas de
, mas não exatamente iguais — isso é esperado porque amostras finitas têm variabilidade. Para termos uma ideia do tamanho típico dessa variabilidade, podemos calcular o erro padrão da média para amostragem sem reposição:
- Primeiro, a variância populacional dos dígitos
a é conhecida (fórmula para uniforme discreto ou calculando diretamente):
portanto
- O erro padrão da média amostral para amostragem sem reposição é
onde
,
e
é o desvio padrão populacional.
- Substituindo:
Interpretação: um valor típico de flutuação da média amostral é cerca de
. As diferenças observadas (
,
,
) são menores do que esse tamanho típico, então estão perfeitamente razoáveis.
Um último comentário prático: se aumentarmos o número de amostras ou o tamanho
, as médias amostrais tenderiam a se concentrar ainda mais em volta de
.
Resposta
Média da amostra 1:
Média da amostra 2:
Média da amostra 3:
Média da população:
Média da amostra 2:
Média da amostra 3:
Média da população: