Considere-se uma população com distribuição Normal de parâmetros desconhecidos. Dessa população foi retirada uma amostra casual de dimensão 25. Suponha-se que a amostra forneceu os seguintes resultados:
\sum_{i=1}^{25} x_{i}=75 ; \quad \sum_{i=1}^{25} x_{i}^{2}=321 .
Construa um intervalo de confiança a 95 \% para o desvio padrão.
Resposta: [1,5609;2,7824]

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=25 retirada de uma população \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) com parâmetros desconhecidos. Sabemos que
\sum_{i=1}^{25}x_i = 75 \quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{25}x_i^2 = 321
e queremos construir um intervalo de confiança de 95\% para o desvio padrão populacional \sigma. Para isso, usaremos a estatística pivô
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1}.

Passo 2

Primeiro calculamos a média amostral
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{25}x_i = \frac{75}{25} = 3.
Em seguida, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é
\sum_{i=1}^{25}(x_i - \bar x)^2 = \sum_{i=1}^{25}x_i^2 \;-\; n\,\bar x^2 = 321 \;-\; 25\cdot 3^2 = 321 - 225 = 96.
Assim, a variância amostral é
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{25}(x_i - \bar x)^2 = \frac{96}{24} = 4,
e o desvio padrão amostral é S = 2.

Passo 3

Para um nível de confiança 1-\alpha=0,95 e n-1=24 graus de liberdade, temos os quantis da distribuição qui-quadrado:
\chi^2_{0,975,\,24} = 39{,}364, \qquad \chi^2_{0,025,\,24} = 12{,}401.
O intervalo de confiança para \sigma^2 é
\Bigl[\, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}} \;,\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}} \Bigr]
e, para \sigma, basta extrair raiz quadrada em cada extremidade.

Passo 4

Substituindo n-1=24 e S^2=4:
\text{limite inferior} = \sqrt{\frac{24\cdot 4}{39{,}364}} = \sqrt{\frac{96}{39{,}364}} \approx 1{,}5609,
\text{limite superior} = \sqrt{\frac{24\cdot 4}{12{,}401}} = \sqrt{\frac{96}{12{,}401}} \approx 2{,}7824.

Resposta

[\,1{,}5609;\;2{,}7824\,]

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