Considere uma variável aleatória X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right). Uma amostra aleatória de dimensão 10 conduziu a \sum_{i=1}^{10} x_{i}=101 e \sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2}=1040.
a) Construa um intervalo com 95 \% de confiança para \mu.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de tamanho n=10 de uma variável X\sim N(\mu,\sigma^2), com \sum_{i=1}^{10}x_i=101 e \sum_{i=1}^{10}x_i^2=1040.
Queremos construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu. Como \sigma é desconhecido, vamos usar a distribuição de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calculamos a média amostral e a variância amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{101}{10}=10{,}1.
S^2=\frac{1}{n-1}\Bigl(\sum_{i=1}^{10}x_i^2 - n\,\bar{x}^2\Bigr) =\frac{1040 - 10\times(10{,}1)^2}{9} =\frac{1040 - 1020{,}1}{9} =\frac{19{,}9}{9}\approx2{,}21.
Logo,
S\approx\sqrt{2{,}21}\approx1{,}49.

Passo 3

Para um nível de confiança de 95\% e n-1=9 graus de liberdade, o quantil crítico é
t_{0{,}975,\,9}\approx2{,}262.

Passo 4

O intervalo de confiança para \mu fica
\bar{x}\pm t_{0{,}975,\,9}\,\frac{S}{\sqrt{n}}
Substituindo os valores:
10{,}1 \pm 2{,}262 \times \frac{1{,}49}{\sqrt{10}} \approx 10{,}1 \pm 1{,}06
Portanto,
IC_{95\%}(\mu)\approx(9{,}04;\,11{,}16).

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para \mu é aproximadamente (9{,}04;\,11{,}16).

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