Considere a população 1,3,5,5,7 e um elemento é sorteado com reposição. Defina a variável aleatória (v.a.) X : o valor assumido pelo elemento na população. Então, a distribuição de X é dada pela tabela abaixo
x 1 3 5 7
P(X=x) 1 / 5 1 / 5 2 / 5 1 / 5
Suponha que iremos retirar uma amostra aleatória de tamanho n=2, com reposição, portanto temos X1 e X2 para representar a amostra. Vejamos todas as possibilidades possíveis na tabela abaixo.
X1 1 3 5 7
X2
1 (1 ; 1) (1 ; 3) (1 ; 5) (1 ; 7)
3 (3 ; 1) (3 ; 3) (3 ; 5) (3 ; 7)
5 (5 ; 1) (5 ; 3) (5 ; 5) (5 ; 7)
7 (7 ; 1) (7 ; 3) (7 ; 5) (7 ; 7)
Encontre a distribuição amostral de W=X(n)-X(1), em que X(n) é o máximo e X(1) é o mínimo da amostra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma população formada pelos números 1, 3, 5, 5, 7. A variável aleatória X representa o valor que a gente sorteia dessa população, e a distribuição de probabilidade de X tá dada na tabela que você me mostrou. A gente vai tirar uma amostra de tamanho n=2, com reposição, ou seja, cada sorteio é independente. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição amostral da variável W = X(n) - X(1), onde X(n) é o maior valor da amostra e X(1) é o menor. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e distribuição de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender todas as possíveis combinações que a gente pode ter ao tirar uma amostra de dois elementos com reposição. Como a população tem os valores 1, 3, 5 e 7, temos 4 opções para o primeiro sorteio ( X1) e 4 opções para o segundo sorteio ( X2), totalizando 4 times 4 = 16 combinações possíveis. Essas combinações estão listadas na tabela que você mostrou.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variável W para cada uma dessas combinações. Lembrando que W = X(n) - X(1), ou seja, a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Vamos ver alguns exemplos:
  • Se tirarmos (1; 1), W = 1 - 1 = 0.
  • Se tirarmos (1; 3), W = 3 - 1 = 2.
  • Se tirarmos (5; 7), W = 7 - 5 = 2.
  • E assim por diante para todas as 16 combinações.

Passo 4

Depois de calcular W para todas as combinações, vamos identificar os diferentes valores que W pode assumir e contar quantas vezes cada valor aparece. Observando as possíveis diferenças, vemos que W pode ser 0, 2, 4 ou 6.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de W. Para isso, vamos multiplicar as probabilidades dos valores sorteados em cada combinação. Por exemplo:
  • Para W = 0, isso acontece quando X1 = X2. As combinações são (1;1), (3;3), (5;5) e (7;7). A probabilidade é:
    P(W=0) = (15)^2 + (15)^2 + (25)^2 + (15)^2 = 725
  • Para W = 2, ocorre nas combinações onde a diferença entre os números é 2, como (1;3), (3;1), (3;5), etc. A probabilidade total é:
    P(W=2) = 1025 = 25
  • Similarmente, calculamos para W = 4 e W = 6.

Resposta

A distribuição amostral de W = X(n) - X(1) é:
|c|c| hline W & P(W) hline 0 & dfrac725 2 & dfrac25 4 & dfrac625 6 & dfrac225 hline

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