Considere a população
e um elemento é sorteado com reposição. Defina a variável aleatória (v.a.)
: o valor assumido pelo elemento na população. Então, a distribuição de
é dada pela tabela abaixo
|
1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
Suponha que iremos retirar uma amostra aleatória de tamanho
, com reposição, portanto temos
e
para representar a amostra. Vejamos todas as possibilidades possíveis na tabela abaixo.
|
1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|
|
||||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
Encontre a distribuição amostral de
, em que
é o máximo e
é o mínimo da amostra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma população formada pelos números
. A variável aleatória
representa o valor que a gente sorteia dessa população, e a distribuição de probabilidade de
tá dada na tabela que você me mostrou. A gente vai tirar uma amostra de tamanho
, com reposição, ou seja, cada sorteio é independente. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição amostral da variável
, onde
é o maior valor da amostra e
é o menor. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e distribuição de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender todas as possíveis combinações que a gente pode ter ao tirar uma amostra de dois elementos com reposição. Como a população tem os valores 1, 3, 5 e 7, temos 4 opções para o primeiro sorteio (
) e 4 opções para o segundo sorteio (
), totalizando
combinações possíveis. Essas combinações estão listadas na tabela que você mostrou.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variável
para cada uma dessas combinações. Lembrando que
, ou seja, a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Vamos ver alguns exemplos:
- Se tirarmos
, . - Se tirarmos
, . - Se tirarmos
, . - E assim por diante para todas as 16 combinações.
Passo 4
Depois de calcular
para todas as combinações, vamos identificar os diferentes valores que
pode assumir e contar quantas vezes cada valor aparece. Observando as possíveis diferenças, vemos que
pode ser 0, 2, 4 ou 6.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de
. Para isso, vamos multiplicar as probabilidades dos valores sorteados em cada combinação. Por exemplo:
-
Para
, isso acontece quando . As combinações são , , e . A probabilidade é: -
Para
, ocorre nas combinações onde a diferença entre os números é 2, como , , , etc. A probabilidade total é: -
Similarmente, calculamos para
e .
Resposta
A distribuição amostral de
é: