Determine,
(a)
; para
.
(b)
; para
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou envolve a Distribuição Binomial, que é um conceito de probabilidade. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso), e queremos saber a probabilidade de obter um certo número de sucessos.
Aqui, temos duas variáveis aleatórias:
- X, que segue uma distribuição binomial com 12 tentativas e probabilidade de sucesso 0,6 em cada tentativa.
- Y, que segue uma distribuição binomial com 20 tentativas e probabilidade de sucesso 0,45 em cada tentativa.
Para resolver as questões, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas,
- $ k $ é o número de sucessos desejados,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos obter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a) para a variável X.
Primeiro, vamos calcular $ P(X = 10) $.
Usando a fórmula da distribuição binomial:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ P(X \leq 7) $, que é a probabilidade de $ X $ ser no máximo 7.
Isso significa somar as probabilidades de $ X $ ser 0, 1, 2, …, até 7:
Calculando cada termo usando a fórmula binomial e somando:
Passo 4
Vamos para $ P(X \geq 7) $, que é a probabilidade de $ X $ ser pelo menos 7.
Isso pode ser calculado como:
Primeiro, calculamos $ P(X \leq 6) $ somando as probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 6 $, e depois subtraímos de 1:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(7 \leq X \leq 12) $, que é a probabilidade de $ X $ estar entre 7 e 12.
Isso pode ser feito de duas maneiras:
- Somando $ P(X = 7) + P(X = 8) + ··· + P(X = 12) $
- Usando a relação $ P(7 \leq X \leq 12) = P(X \geq 7) $
Já calculamos $ P(X \geq 7) \approx 0.786 $, então:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) referente à variável Y com 20 tentativas e probabilidade de sucesso 0,45.
Primeiro, vamos calcular $ P(12 \leq Y \leq 18) $.
Isso significa somar as probabilidades de $ Y = 12 $ até $ Y = 18 $:
Calculando cada termo usando a fórmula binomial e somando:
Passo 7
Por último, vamos calcular $ P(11 < Y < 18) $, que é a probabilidade de $ Y $ estar entre 12 e 17.
Isso pode ser calculado somando as probabilidades de $ Y = 12 $ até $ Y = 17 $:
Após calcular cada termo e somar:
Resposta
(a)
- $ P(X=10) \approx 0.0639 $
- $ P(X \leq 7) \approx 0.382 $
- $ P(X \geq 7) \approx 0.786 $
- $ P(7 \leq X \leq 12) \approx 0.786 $
(b)
- $ P(12 \leq Y \leq 18) \approx 0.650 $
- $ P(11 < Y < 18) \approx 0.600 $