Determine,
(a) P(X=10) ; P(X <= 7) ; P(X >= 7) ; P(7 <= X <= 12); para X sim Bi(12,0.6).
(b) P(12 <= Y <= 18) ; P(11; para Y sim B i(20,0.45).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou envolve a Distribuição Binomial, que é um conceito de probabilidade. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso), e queremos saber a probabilidade de obter um certo número de sucessos.
Aqui, temos duas variáveis aleatórias:
  • X, que segue uma distribuição binomial com 12 tentativas e probabilidade de sucesso 0,6 em cada tentativa.
  • Y, que segue uma distribuição binomial com 20 tentativas e probabilidade de sucesso 0,45 em cada tentativa.
Para resolver as questões, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas,
  • $ k $ é o número de sucessos desejados,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos obter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a) para a variável X.
Primeiro, vamos calcular $ P(X = 10) $.
Usando a fórmula da distribuição binomial:
P(X = 10)
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 10) = binom1210 (0.6)^10 (0.4)^2
Então:
binom1210 = 12!10!(12-10)! = 12 times 112 times 1 = 66

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P(X \leq 7) $, que é a probabilidade de $ X $ ser no máximo 7.
Isso significa somar as probabilidades de $ X $ ser 0, 1, 2, …, até 7:
P(X <= 7)
Calculando cada termo usando a fórmula binomial e somando:
X

Passo 4

Vamos para $ P(X \geq 7) $, que é a probabilidade de $ X $ ser pelo menos 7.
Isso pode ser calculado como:
P(X >= 7)
Primeiro, calculamos $ P(X \leq 6) $ somando as probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 6 $, e depois subtraímos de 1:
X

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(7 \leq X \leq 12) $, que é a probabilidade de $ X $ estar entre 7 e 12.
Isso pode ser feito de duas maneiras:
  1. Somando $ P(X = 7) + P(X = 8) + ··· + P(X = 12) $
  2. Usando a relação $ P(7 \leq X \leq 12) = P(X \geq 7) $
Já calculamos $ P(X \geq 7) \approx 0.786 $, então:
P(7 <= X <= 12)

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) referente à variável Y com 20 tentativas e probabilidade de sucesso 0,45.
Primeiro, vamos calcular $ P(12 \leq Y \leq 18) $.
Isso significa somar as probabilidades de $ Y = 12 $ até $ Y = 18 $:
P(12 <= Y <= 18)
Calculando cada termo usando a fórmula binomial e somando:
Y = 12

Passo 7

Por último, vamos calcular $ P(11 < Y < 18) $, que é a probabilidade de $ Y $ estar entre 12 e 17.
Isso pode ser calculado somando as probabilidades de $ Y = 12 $ até $ Y = 17 $:
P(11 < Y < 18)
Após calcular cada termo e somar:
Y

Resposta

(a)
  • $ P(X=10) \approx 0.0639 $
  • $ P(X \leq 7) \approx 0.382 $
  • $ P(X \geq 7) \approx 0.786 $
  • $ P(7 \leq X \leq 12) \approx 0.786 $
(b)
  • $ P(12 \leq Y \leq 18) \approx 0.650 $
  • $ P(11 < Y < 18) \approx 0.600 $

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