Considere a população P=\{-1,-1,1,1,1\} e todas as amostras possíveis de tamanho n=3 com reposição, retiradas dessa população. Sejam X_{1}, X_{2} e X_{3} as variáveis aleatórias que indicam o primeiro, segundo e o terceiro elemento selecionados, respectivamente.
Determine a distribuição de probabilidade da estatística média amostral ( \bar{X} ), isto é, apresente uma tabela indicando os possíveis valores de \bar{X} e suas respectivas probabilidades.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de probabilidade da estatística média amostral \bar{X} quando se retiram todas as amostras possíveis de tamanho n=3 com reposição da população P=\{-1,-1,1,1,1\}.
Informações dadas:
  • A população tem cinco elementos, sendo três vezes o valor \,1 e duas vezes o valor -1.
  • As amostras são retiradas com reposição e ordenadas (ou seja, X_{1},X_{2},X_{3} representam as três retiradas, em ordem).
  • A estatística é a média amostral \bar{X}=\dfrac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}.
    O que se quer: listar todos os possíveis valores de \bar{X} e calcular a probabilidade associada a cada um.

Passo 2

Probabilidade de um único sorteio ser 1 ou -1. Como cada retirada é feita com reposição entre os 5 elementos:
P(X_i=1)=\frac{3}{5},\qquad P(X_i=-1)=\frac{2}{5}.
As três variáveis X_1,X_2,X_3 são independentes por causa da reposição.

Passo 3

Relacionar \bar{X} ao número de ocorrências de 1. Seja K o número de observações iguais a 1 nas três retiradas; então K\in\{0,1,2,3\}. Escrever a soma S=X_1+X_2+X_3 em função de K. Cada 1 contribui com +1 e cada -1 contribui com -1, logo:
S = (+1)\cdot K + (-1)\cdot(3-K) = 2K-3.
A média amostral é
\bar{X}=\frac{S}{3}=\frac{2K-3}{3}.
Calculando para cada K:
\begin{aligned} K=0 &\Rightarrow \bar{X}=\frac{2\cdot0-3}{3}=-1,\\\ K=1 &\Rightarrow \bar{X}=\frac{2\cdot1-3}{3}=-\frac{1}{3},\\\ K=2 &\Rightarrow \bar{X}=\frac{2\cdot2-3}{3}=\frac{1}{3},\\\ K=3 &\Rightarrow \bar{X}=\frac{2\cdot3-3}{3}=1. \end{aligned}
Portanto os valores possíveis de \bar{X} são -1,\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{3},\,1.

Passo 4

Calcular P(K=k). Como cada retirada é independente e a probabilidade de obter 1 em uma retirada é p=\tfrac{3}{5}, K tem distribuição binomial \mathrm{Bin}(n=3,p=3/5):
P(K=k)=\binom{3}{k}\left(\frac{3}{5}\right)^{k}\left(\frac{2}{5}\right)^{3-k},\qquad k=0,1,2,3.
Calcular cada probabilidade (mostrando as contas):
\begin{aligned} P(K=0)&=\binom{3}{0}\left(\frac{3}{5}\right)^{0}\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125},\\[6pt] P(K=1)&=\binom{3}{1}\left(\frac{3}{5}\right)^{1}\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=3\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{25}=\frac{36}{125},\\[6pt] P(K=2)&=\binom{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{1}=3\cdot\frac{9}{25}\cdot\frac{2}{5}=\frac{54}{125},\\[6pt] P(K=3)&=\binom{3}{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{0}=\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}. \end{aligned}
Verificação rápida: \dfrac{8+36+54+27}{125}=\dfrac{125}{125}=1.]

Passo 5

Associar cada P(K=k) ao correspondente valor de \bar{X} usando \bar{X}=(2K-3)/3. Assim obtemos as probabilidades de cada valor de \bar{X} (os cálculos para P(K=k) foram feitos no passo anterior).

Resposta

\bar{X}=-1,\; P(\bar{X}=-1)=\dfrac{8}{125}
\bar{X}=-\dfrac{1}{3},\; P\bigl(\bar{X}=-\tfrac{1}{3}\bigr)=\dfrac{36}{125}
\bar{X}=\dfrac{1}{3},\; P\bigl(\bar{X}=\tfrac{1}{3}\bigr)=\dfrac{54}{125}
\bar{X}=1,\; P(\bar{X}=1)=\dfrac{27}{125}

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