Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro, segundo e o terceiro elemento selecionados, respectivamente.
Determine a distribuição de probabilidade da estatística média amostral (
), isto é, apresente uma tabela indicando os possíveis valores de
e suas respectivas probabilidades.
Determine a distribuição de probabilidade da estatística média amostral (
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de probabilidade da estatística média amostral
quando se retiram todas as amostras possíveis de tamanho
com reposição da população
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A população tem cinco elementos, sendo três vezes o valor
e duas vezes o valor . - As amostras são retiradas com reposição e ordenadas (ou seja,
representam as três retiradas, em ordem). - A estatística é a média amostral
.
O que se quer: listar todos os possíveis valores dee calcular a probabilidade associada a cada um.
Passo 2
Probabilidade de um único sorteio ser
ou
. Como cada retirada é feita com reposição entre os 5 elementos:
As três variáveis
são independentes por causa da reposição.
Passo 3
Relacionar
ao número de ocorrências de
. Seja
o número de observações iguais a
nas três retiradas; então
. Escrever a soma
em função de
. Cada
contribui com
e cada
contribui com
, logo:
A média amostral é
Calculando para cada
:
Portanto os valores possíveis de
são
.
Passo 4
Calcular
. Como cada retirada é independente e a probabilidade de obter
em uma retirada é
,
tem distribuição binomial
:
Calcular cada probabilidade (mostrando as contas):
Verificação rápida:
.]
Passo 5
Associar cada
ao correspondente valor de
usando
. Assim obtemos as probabilidades de cada valor de
(os cálculos para
foram feitos no passo anterior).