Considere a população
e todas as amostras possíveis de tamanho
com reposição, retiradas dessa população. Sejam
e
as variáveis aleatórias que indicam o primeiro, segundo e o terceiro elemento selecionados, respectivamente.
Determine a distribuição de probabilidade da variância amostral
.
Determine a distribuição de probabilidade da variância amostral
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo isto é relevante e será usado):
- A população é
. - Vamos retirar amostras com reposição de tamanho
. - As variáveis aleatórias
indicam o 1.º, 2.º e 3.º elemento selecionados, respectivamente. - Como a amostragem é com reposição, os
são independentes e idênticos, com
- O que se pede: determinar a distribuição de probabilidade da variância amostral
(isto é, listar os valores que pode assumir e suas probabilidades).
Passo 2
Definição e fórmula da variância amostral usada (explicação didática):
- A média amostral é
- A variância amostral (estimator usual com divisor
) é
Explicando:
é o valor médio dos três
. Subtrai-se
de cada observação para medir a dispersão e soma-se o quadrado dessas diferenças; divide-se por
para obter a variância amostral. Aqui
, logo o divisor será
.
Passo 3
Redução do problema usando que
(truque útil):
- Para variáveis que valem sempre
vale que para todo . Então
- Como
e , obtemos a identidade simples (muito prática):
- Portanto, para qualquer amostra de
elementos com valores ,
- No nosso caso
, então
Esse resultado é muito conveniente: basta conhecer
para saber
.
Passo 4
Possíveis valores da média amostral
e consequente
:
- Seja
o número de observações iguais a na amostra ( ). Então a soma das observações é e
- Calculando para cada
: -
. -
. -
. -
.
-
- Agora aplicar
: - Para
(casos ou ): - Para
(casos ou ):
- Para
- Conclusão intercalar:
só pode assumir dois valores: (quando todas as observações são iguais) e (quando há mistura de e ).
Passo 5
Calcular as probabilidades desses valores (usando distribuição binomial para
):
- Os
são independentes com . Assim e
- Calculando números:
-
- Agora relacionar
com : -
ocorre quando ou . Então
-
ocorre quando ou . Então
-
- Verificação rápida:
, ok.