Considere a população P=\{-1,-1,1,1,1\} e todas as amostras possíveis de tamanho n=3 com reposição, retiradas dessa população. Sejam X_{1}, X_{2} e X_{3} as variáveis aleatórias que indicam o primeiro, segundo e o terceiro elemento selecionados, respectivamente.
Determine a distribuição de probabilidade da variância amostral S^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo isto é relevante e será usado):
  • A população é P=\{-1,-1,1,1,1\}.
  • Vamos retirar amostras com reposição de tamanho n=3.
  • As variáveis aleatórias \,X_{1},X_{2},X_{3}\, indicam o 1.º, 2.º e 3.º elemento selecionados, respectivamente.
  • Como a amostragem é com reposição, os X_{i} são independentes e idênticos, com
\mathbb{P}(X_i=1)=\frac{3}{5},\qquad \mathbb{P}(X_i=-1)=\frac{2}{5}.
  • O que se pede: determinar a distribuição de probabilidade da variância amostral S^{2} (isto é, listar os valores que S^{2} pode assumir e suas probabilidades).

Passo 2

Definição e fórmula da variância amostral usada (explicação didática):
  • A média amostral é
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
  • A variância amostral (estimator usual com divisor n-1) é
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^{2}.
Explicando: \bar X é o valor médio dos três X_i. Subtrai-se \bar X de cada observação para medir a dispersão e soma-se o quadrado dessas diferenças; divide-se por n-1 para obter a variância amostral. Aqui n=3, logo o divisor será 2.

Passo 3

Redução do problema usando que X_i\in\{-1,1\} (truque útil):
  • Para variáveis que valem sempre \pm 1 vale que X_i^{2}=1 para todo i. Então
\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\bar X\sum_{i=1}^n X_i + n\bar X^2.
  • Como \sum_{i=1}^n X_i = n\bar X e \sum X_i^2 = n, obtemos a identidade simples (muito prática):
\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 = n - n\bar X^2 = n(1-\bar X^2).
  • Portanto, para qualquer amostra de n elementos com valores \pm1,
S^{2}=\frac{1}{n-1}\,n(1-\bar X^2).
  • No nosso caso n=3, então
S^{2}=\frac{3}{2}\bigl(1-\bar X^2\bigr).
Esse resultado é muito conveniente: basta conhecer \bar X para saber S^{2}.

Passo 4

Possíveis valores da média amostral \bar X e consequente S^{2}:
  • Seja k o número de observações iguais a +1 na amostra ( k=0,1,2,3). Então a soma das observações é k\cdot1+(3-k)(-1)=2k-3 e
\bar X=\frac{2k-3}{3}.
  • Calculando para cada k:
    • k=0\Rightarrow \bar X=-1.
    • k=1\Rightarrow \bar X=-\tfrac{1}{3}.
    • k=2\Rightarrow \bar X=+\tfrac{1}{3}.
    • k=3\Rightarrow \bar X=+1.
  • Agora aplicar S^{2}=\tfrac{3}{2}(1-\bar X^2):
    • Para \bar X=\pm1 (casos k=0 ou k=3): S^{2}=\frac{3}{2}(1-1)=0.
    • Para \bar X=\pm\tfrac{1}{3} (casos k=1 ou k=2): S^{2}=\frac{3}{2}\Bigl(1-\frac{1}{9}\Bigr)=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{9}=\frac{4}{3}.
  • Conclusão intercalar: S^{2} só pode assumir dois valores: 0 (quando todas as observações são iguais) e \tfrac{4}{3} (quando há mistura de +1 e -1).

Passo 5

Calcular as probabilidades desses valores (usando distribuição binomial para k):
  • Os X_i são independentes com \mathbb{P}(X_i=1)=p=\tfrac{3}{5}. Assim k\sim\mathrm{Binomial}(3,p) e
\mathbb{P}(k=j)=\binom{3}{j} p^{j}(1-p)^{3-j},\qquad j=0,1,2,3.
  • Calculando números:
    • \displaystyle \mathbb{P}(k=0)=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}.
    • \displaystyle \mathbb{P}(k=3)=\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}.
    • \displaystyle \mathbb{P}(k=1)=\binom{3}{1}\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=3\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{25}=\frac{36}{125}.
    • \displaystyle \mathbb{P}(k=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\frac{2}{5}=3\cdot\frac{9}{25}\cdot\frac{2}{5}=\frac{54}{125}.
  • Agora relacionar k com S^{2}:
    • S^{2}=0 ocorre quando k=0 ou k=3. Então
    \mathbb{P}\bigl(S^{2}=0\bigr)=\mathbb{P}(k=0)+\mathbb{P}(k=3)=\frac{8}{125}+\frac{27}{125}=\frac{35}{125}=\frac{7}{25}.
    • S^{2}=\tfrac{4}{3} ocorre quando k=1 ou k=2. Então
    \mathbb{P}\Bigl(S^{2}=\frac{4}{3}\Bigr)=\mathbb{P}(k=1)+\mathbb{P}(k=2)=\frac{36}{125}+\frac{54}{125}=\frac{90}{125}=\frac{18}{25}.
  • Verificação rápida: \tfrac{7}{25}+\tfrac{18}{25}=1, ok.

Resposta

\displaystyle \mathbb{P}\bigl(S^{2}=0\bigr)=\frac{7}{25}
\displaystyle \mathbb{P}\Bigl(S^{2}=\frac{4}{3}\Bigr)=\frac{18}{25}

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