Um sólido elástico tem módulo de elasticidade E=3 \mathrm{GPa} e coeficiente de Poisson \nu=0.4. O tensor de stress do material é descrito pelo campo
\left(\begin{array}{ccc} X_{1}^{2} & -X_{1} X_{2} & 0 \\\\ -X_{1} X_{2} & X_{2}^{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & X_{3}^{3} \end{array}\right)
Encontre o tensor de deformação elástico \varepsilon no ponto de coordenadas P=(-1,1,2), assim como o coeficiente de dilatação volumétrico \Delta V / V nesse ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá um sólido isotrópico com módulo de Young E=3\:\mathrm{GPa} e coeficiente de Poisson \nu=0,4. O tensor de tensões é
\sigma(X)= \begin{pmatrix} X_{1}^{2} & -X_{1}X_{2} & 0\\\\ -\,X_{1}X_{2} & X_{2}^{2} & 0\\\\ 0 & 0 & X_{3}^{3} \end{pmatrix}.
Precisamos calcular o tensor de deformação \varepsilon no ponto P=(-1,1,2) usando a lei de Hooke inversa para material isotrópico, e depois o coeficiente de dilatação volumétrica \Delta V/V=\varepsilon_{kk}.

Passo 2

Primeiro avaliamos \sigma em P. Substituindo X_{1}=-1, X_{2}=1, X_{3}=2 temos
\sigma(P)= \begin{pmatrix} (-1)^{2} & -(-1)(1) & 0\\[6pt] -(-1)(1) & (1)^{2} & 0\\[6pt] 0 & 0 & (2)^{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para um material isotrópico linearly elástico vale a lei de Hooke inversa:
\varepsilon_{ij} =\frac{1}{E}\bigl[(1+\nu)\,\sigma_{ij}-\nu\,\sigma_{kk}\,\delta_{ij}\bigr].
Além disso, a dilatação volumétrica é
\frac{\Delta V}{V}=\varepsilon_{kk}.

Passo 4

Calculamos o traço de \sigma em P:
\sigma_{kk}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=1+1+8=10.

Passo 5

Agora obtemos cada componente de \varepsilon. Como E=3\:\mathrm{GPa} e \nu=0,4,
\varepsilon_{11} =\frac{1}{3}\bigl[1{,}4\cdot1-0{,}4\cdot10\bigr] =\frac{1{,}4-4}{3}=-\frac{2{,}6}{3}\approx-0,867,
\varepsilon_{22} =\varepsilon_{11}\approx-0,867,
\varepsilon_{33} =\frac{1}{3}\bigl[1{,}4\cdot8-0{,}4\cdot10\bigr] =\frac{11{,}2-4}{3}=\frac{7{,}2}{3}=2{,}4.
As componentes de cisalhamento são
\varepsilon_{12} =\frac{1+\nu}{E}\,\sigma_{12} =\frac{1{,}4}{3}\cdot1\approx0,467,
e \varepsilon_{13}=\varepsilon_{23}=0.
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\varepsilon(P)= \begin{pmatrix} -0,867 & 0,467 & 0\\\\ 0,467 & -0,867 & 0\\\\ 0 & 0 & 2,4 \end{pmatrix}.

Passo 6

O coeficiente de dilatação volumétrica é
\frac{\Delta V}{V}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} =-0,867-0,867+2,4=0,666\approx\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \varepsilon(P)= \begin{pmatrix} -0,867 & 0,467 & 0\\\\ 0,467 & -0,867 & 0\\\\ 0 & 0 & 2,4 \end{pmatrix}, \quad \frac{\Delta V}{V}=\frac{2}{3}\approx0,667.

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