Considere a possibilidade da propagação de ondas eletromagnéticas no interior de uma cavidade cúbica de aresta de comprimento igual a
, de paredes metálicas perfeitamente refletoras, no interior da qual se fez vácuo.
Determine os valores possíveis para o módulo do vetor de propagação
, condizentes com as condições de contorno descritas acima.
Determine os valores possíveis para o módulo do vetor de propagação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como as ondas eletromagnéticas se comportam dentro de uma cavidade cúbica com lados de comprimento $ L $, paredes metálicas que refletem tudo perfeitamente e vácuo por dentro. Basicamente, precisamos descobrir quais são os valores possíveis para o módulo do vetor de propagação $ \vec{k} = k_x \hat{\imath} + k_y \hat{\jmath} + k_z \hat{k} $ que respeitam as condições de contorno desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se comportam em espaços confinados e aplicar um pouco de matemática sobre vetores e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em uma cavidade com paredes metálicas perfeitamente refletoras, as componentes tangenciais do campo elétrico devem ser nulas nas paredes. Isso significa que as ondas eletromagnéticas dentro da cavidade formam ondas estacionárias, ou seja, ondas que ficam “presas” dentro do espaço limitado pela cavidade.
Passo 3
Como a cavidade é cúbica com aresta de comprimento $ L $, as condições de contorno nos dizem que as ondas devem se ajustar perfeitamente às dimensões da cavidade. Isso implica que as componentes do vetor de propagação $ \vec{k} $ em cada direção (x, y, z) são quantizadas. Matemáticamente, podemos expressar cada componente $ k_x $, $ k_y $ e $ k_z $ como múltiplos de $ \frac{\pi}{L} $:
Aqui, $ n_x $, $ n_y $ e $ n_z $ são números inteiros positivos (1, 2, 3, …), representando os modos de propagação em cada direção.
Passo 4
Agora, para encontrar o módulo do vetor de propagação $ \vec{k} $, usamos a fórmula da norma de um vetor em três dimensões:
Substituindo as expressões das componentes que encontramos:
Resposta
Os valores possíveis para o módulo do vetor de propagação $ \vec{k} $ são dados por:
onde $ n_x $, $ n_y $ e $ n_z $ são números inteiros positivos (1, 2, 3, …).