Um oscilador fracamente amortecido perde 1 / 50 de sua energia inicial durante o primeiro ciclo. Quantos ciclos são necessários para dissipar a metade da energia inicial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador fracamente amortecido que perde 150 da sua energia inicial no primeiro ciclo. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos ciclos ele precisa para perder metade dessa energia inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de decadimento exponencial e logaritmos. Esses conceitos vão nos ajudar a modelar a perda de energia ao longo dos ciclos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a energia está diminuindo a cada ciclo. Como ele perde 150 da energia inicial no primeiro ciclo, a energia após o primeiro ciclo é:
E1 = E0 (1 - 150) = E0 cdot 4950
Aqui, E0 representa a energia inicial e E1 a energia após o primeiro ciclo.

Passo 3

Agora, percebemos que a perda de energia é proporcional à energia que resta. Portanto, após cada ciclo, a energia é multiplicada por 4950. Assim, após n ciclos, a energia será:
En = E0 (4950)^n

Passo 4

Queremos saber quando a energia restante En será metade da inicial E0. Então, estabelecemos a equação:
E02 = E0 (4950)^n
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por E0:
12 = (4950)^n

Passo 5

Para resolver essa equação para n, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(12) = ln((4950)^n)
Usando a propriedade dos logaritmos que traz o expoente para frente:
ln(12) = n cdot ln(4950)

Passo 6

Agora, isolamos n dividindo ambos os lados por ln(4950):
n = ln(12)ln(4950)

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
ln(12) approx -0.6931
ln(4950) approx -0.0202
Então:
n approx -0.6931-0.0202 approx 34.3

Resposta

São necessários aproximadamente 34 ciclos para dissipar metade da energia inicial.

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