Um oscilador fracamente amortecido perde
de sua energia inicial durante o primeiro ciclo. Quantos ciclos são necessários para dissipar a metade da energia inicial?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador fracamente amortecido que perde
da sua energia inicial no primeiro ciclo. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos ciclos ele precisa para perder metade dessa energia inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de decadimento exponencial e logaritmos. Esses conceitos vão nos ajudar a modelar a perda de energia ao longo dos ciclos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a energia está diminuindo a cada ciclo. Como ele perde
da energia inicial no primeiro ciclo, a energia após o primeiro ciclo é:
Aqui,
representa a energia inicial e
a energia após o primeiro ciclo.
Passo 3
Agora, percebemos que a perda de energia é proporcional à energia que resta. Portanto, após cada ciclo, a energia é multiplicada por
. Assim, após
ciclos, a energia será:
Passo 4
Queremos saber quando a energia restante
será metade da inicial
. Então, estabelecemos a equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para resolver essa equação para
, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos que traz o expoente para frente:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
Então:
Resposta
São necessários aproximadamente 34 ciclos para dissipar metade da energia inicial.