dada as Matrizes
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right] \text { e } B=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right]
\operatorname{de} a \operatorname{det} A, a inversa de A e todas as soluçes de A X=B

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
e pede:
  1. \det A,
  2. A^{-1},
  3. todas as soluções de AX = B.
O conteúdo principal é determinante, inversa por eliminação de Gauss e solução de sistema linear.

Passo 2

Para calcular \det A fazemos expansão pela primeira linha. Como apenas a_{11}=1 é não nulo nessa linha,
\det A = 1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Agora, esse determinante 3\times3 vale
1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ -2&1\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}-2&0\\\ 1&-2\end{pmatrix} =1\cdot(0\cdot1-1\cdot(-2))+1\cdot((-2)(-2)-0\cdot1) =2+4=6.
Logo
\det A = 6.

Passo 3

Para achar A^{-1} montamos a matriz aumentada [A\mid I_4] e aplicamos eliminação de Gauss até obter [I_4\mid A^{-1}]. Após as operações de pivoteamento em cada coluna, chegamos a
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac13 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac23 & \tfrac13 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como A é invertível, a solução do sistema AX=B é única e dada por
X = A^{-1}B.
Multiplicando termo a termo,
X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac13 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac23 & \tfrac13 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1+1+0\\\\ 0+\tfrac13-\tfrac13+0\\\\ 0+\tfrac12+0-\tfrac12\\\\ 0+\tfrac23+\tfrac13+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

\det A = 6.
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac13 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac23 & \tfrac13 & 0 \end{pmatrix}.
A solução única de AX=B é
X = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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