Construa um modelo unidimensional (determine o potencial) para descrever o decaimento alfa. Encontre as soluções, aplique as condições de contorno e calcule o coeficiente de transmissão.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente montar um modelo unidimensional pro decaimento α, ou seja, imaginar o núcleo como um “poço” de potencial dentro do qual a partícula α está presa, depois um “barreirão” (potencial coulômbico) e, por fim, a parte de fora. A ideia é:
  • Matéria: mecânica quântica – equação de Schrödinger unidimensional e tunelamento.
  • O que vamos precisar:
    1. Definir o perfil do potencial em três regiões.
    2. Escrever a equação de Schrödinger em cada região e achar as soluções gerais.
    3. Encaixar (aplicar condições de contorno) para ligar as soluções.
    4. Extrair o coeficiente de transmissão (probabilidade de tunelamento).

Passo 2

Definindo o potencial em função da distância V(r) = -V0(V0>0) do centro do núcleo:
  1. Região I (dentro do núcleo, V(r) = Z e^24pivarepsilon0,r, ): poço profundo
  2. Região II (barreira coulômbica, ): onde é o número atômico do núcleo-filha.
  3. Região III (fora, ): livre, .
O alfa tem energia tal que em parte da barreira, garantindo tunelamento.

Passo 3

Escrever a equação de Schrödinger unidimensional radial (sem termo centrífugo, pra simplificar):
-hbar^22m,d^2psidr^2 + V(r),psi = E,psi
Nas três regiões as soluções gerais são:
  • Região I ( ), :
  • Região II ( ), :
  • Região III ( ), :

Passo 4

Agora a gente aplica as condições de contorno em e :
  1. Continuidade de .
  2. Continuidade de .
    Isso gera um sistema pra relacionar com . Como queremos o alfa escapando “pra fora”, normalmente tomamos (nenhum feixe vindo de ) e achamos .

Passo 5

O cálculo exato fica meio cabeludo, mas em mecânica quântica clássica usamos a aproximação de WKB dentro da barreira. O coeficiente de transmissão sai aproximadamente
T approx exp!l(-2integralr1^r2kappa(r),drr) =exp!gl(-2hbarraiz2m, integralr1^r2raizV(r)-E,drgr),
onde e são os pontos de virada definidos por .

Resposta

O coeficiente de transmissão (probabilidade de decaimento α) no modelo unidimensional vale, na aproximação WKB:
boxedT approx exp!gl(-2hbarraiz2m, integralr1^r2raizZ e^24pivarepsilon0,r-E;drgr)

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