Construa um modelo unidimensional (determine o potencial) para descrever o decaimento alfa. Encontre as soluções, aplique as condições de contorno e calcule o coeficiente de transmissão.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente montar um modelo unidimensional pro decaimento α, ou seja, imaginar o núcleo como um “poço” de potencial dentro do qual a partícula α está presa, depois um “barreirão” (potencial coulômbico) e, por fim, a parte de fora. A ideia é:
- Matéria: mecânica quântica – equação de Schrödinger unidimensional e tunelamento.
- O que vamos precisar:
- Definir o perfil do potencial
em três regiões. - Escrever a equação de Schrödinger em cada região e achar as soluções gerais.
- Encaixar (aplicar condições de contorno) para ligar as soluções.
- Extrair o coeficiente de transmissão
(probabilidade de tunelamento).
- Definir o perfil do potencial
Passo 2
Definindo o potencial em função da distância
do centro do núcleo:
- Região I (dentro do núcleo,
): poço profundo - Região II (barreira coulômbica,
): onde é o número atômico do núcleo-filha. - Região III (fora,
): livre, .
O alfa tem energia
tal que
em parte da barreira, garantindo tunelamento.
Passo 3
Escrever a equação de Schrödinger unidimensional radial (sem termo centrífugo, pra simplificar):
Nas três regiões as soluções gerais são:
- Região I (
), :
- Região II (
), :
- Região III (
), :
Passo 4
Agora a gente aplica as condições de contorno em
e
:
- Continuidade de
. - Continuidade de
.
Isso gera um sistema pra relacionarcom . Como queremos o alfa escapando “pra fora”, normalmente tomamos (nenhum feixe vindo de ) e achamos .
Passo 5
O cálculo exato fica meio cabeludo, mas em mecânica quântica clássica usamos a aproximação de WKB dentro da barreira. O coeficiente de transmissão sai aproximadamente
onde
e
são os pontos de virada definidos por
.
Resposta
O coeficiente de transmissão (probabilidade de decaimento α) no modelo unidimensional vale, na aproximação WKB: