A equação de onda unidimensional de Schrödinger para uma partícula em um campo de potencial V=12 k x^2 é
-hbar^22 m d^2 psid x^2+12 k x^2 psi=E psi
Usando xi=a x e uma constante lambda, temos
a & =(m khbar^2)^1 / 4 lambda & =2 Ehbar(mk)^1 / 2 ;
mostre que
d^2 psi(xi)d xi^2+(lambda-xi^2) psi(xi)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente tem a equação de onda unidimensional de Schrödinger para uma partícula em um potencial harmônico, que é aquele que parece um “poço” quadrado com a força aumentando conforme a distância. A equação é:
-hbar^22 m d^2 psid x^2 + 12 k x^2 psi = E psi
O objetivo é fazer umas mudanças de variáveis usando xi = a x e uma constante lambda, para simplificar a equação e mostrar que ela fica assim:
d^2 psi(xi)d xi^2 + (lambda - xi^2) psi(xi) = 0
Vamos precisar entender de cálculo diferencial e um pouco de física quântica básica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as substituições que vamos fazer. A variável nova é xi = a x, onde a é uma constante definida por:
a = (m khbar^2)^1 / 4
E a constante lambda é definida por:
lambda = 2 Ehbar (mk)^1 / 2
Essas definições ajudam a tornar a equação dimensionless, ou seja, sem unidades, o que simplifica os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos substituir xi = a x na equação de Schrödinger. Mas para isso, precisamos reescrever as derivadas em termos de xi.
Primeiro, a primeira derivada de psi em relação a x:
d psid x = d psid xi cdot d xid x = a d psid xi
E a segunda derivada:
d^2 psid x^2 = dd x ( a d psid xi ) = a dd x ( d psid xi ) = a cdot a d^2 psid xi^2 = a^2 d^2 psid xi^2

Passo 4

Vamos substituir essas derivadas na equação original de Schrödinger:
-hbar^22 m ( a^2 d^2 psid xi^2 ) + 12 k x^2 psi = E psi
Agora, vamos substituir x por xi / a, já que xi = a x.

Passo 5

Substituindo x = xi / a na parte do potencial:
12 k x^2 psi = 12 k ( xia )^2 psi = 12 k xi^2a^2 psi
Agora, nossa equação fica:
-hbar^2 a^22 m d^2 psid xi^2 + 12 k xi^2a^2 psi = E psi

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes. Primeiro, olhe para o termo com a segunda derivada:
-hbar^2 a^22 m
Substituindo a pela sua definição:
a^2 = ( m khbar^2 )^1/2
Então:
hbar^2 a^22 m = hbar^22 m ( m khbar^2 )^1/2 = hbar2 ( km )^1/2
Agora, para o termo do potencial:
12 k xi^2a^2 = 12 k xi^2( m khbar^2 )^1/2 = 12 hbar ( km )^1/2 xi^2

Passo 7

Substituindo esses resultados na equação, temos:
-hbar2 ( km )^1/2 d^2 psid xi^2 + 12 hbar ( km )^1/2 xi^2 psi = E psi
Vamos dividir toda a equação por hbar2 ( km )^1/2 para simplificar:
- d^2 psid xi^2 + xi^2 psi = 2 Ehbar ( mk )^1/2 psi

Passo 8

Perceba que o lado direito da equação é exatamente a definição da constante lambda:
lambda = 2 Ehbar ( mk )^1/2
Então, podemos reescrever a equação final como:
d^2 psi(xi)d xi^2 + ( lambda - xi^2 ) psi(xi) = 0

Resposta

Assim, mostramos que, ao fazer as substituições xi = a x e lambda = 2 Ehbar ( mk )^1/2, a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico se transforma em:
d^2 psi(xi)d xi^2 + ( lambda - xi^2 ) psi(xi) = 0

Exercícios relacionados