A equação de onda unidimensional de Schrödinger para uma partícula em um campo de potencial
é
Usando
e uma constante
, temos
mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente tem a equação de onda unidimensional de Schrödinger para uma partícula em um potencial harmônico, que é aquele que parece um “poço” quadrado com a força aumentando conforme a distância. A equação é:
O objetivo é fazer umas mudanças de variáveis usando
e uma constante
, para simplificar a equação e mostrar que ela fica assim:
Vamos precisar entender de cálculo diferencial e um pouco de física quântica básica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as substituições que vamos fazer. A variável nova é
, onde
é uma constante definida por:
E a constante
é definida por:
Essas definições ajudam a tornar a equação dimensionless, ou seja, sem unidades, o que simplifica os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação de Schrödinger. Mas para isso, precisamos reescrever as derivadas em termos de
.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir essas derivadas na equação original de Schrödinger:
Agora, vamos substituir
por
, já que
.
Passo 5
Substituindo
na parte do potencial:
Agora, nossa equação fica:
Passo 6
Vamos simplificar os coeficientes. Primeiro, olhe para o termo com a segunda derivada:
Substituindo
pela sua definição:
Então:
Agora, para o termo do potencial:
Passo 7
Substituindo esses resultados na equação, temos:
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Passo 8
Perceba que o lado direito da equação é exatamente a definição da constante
:
Então, podemos reescrever a equação final como:
Resposta
Assim, mostramos que, ao fazer as substituições
e
, a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico se transforma em: